Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

228 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJADakle, aproksimaciona funkcija Φ je data saΦ(x) = 4√ 39[(m−1)/2]Xn=0112 n n! H 2n+1(x) (x ∈ (−∞,+∞)) .6.2.10. Funkciju f(x) = x−x 2 aproksimirati na intervalu (−∞, ∞) algebarskimpolinomom stepena ne višeg od prvog srednje-kvadratnom aproksimacijomsa težinom p(x) = e −x2 .Rešenje 1. Označimo sa P(x) traženi polinom najbolje srednje-kvadratneaproksimacije. Tada jeP(x) = a 0 H 0 (x) + a 1 H 1 (x),gde su H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x Hermiteovi ortogonalni polinomi.Kako je(f, H 0 ) =Z ∞−∞√ Ze −x2 (x −x 2 π∞) dx = −2 , (f, H 1) = 2 e −x2 x(x −x 2 ) dx = √ π−∞iimamo da jeDakle,‖H 0 ‖ 2 = √ π, ‖H 1 ‖ 2 = 2 √ π,a 0 = (f, H 0)‖H 0 ‖ 2 = −1 2 , a 1 = (f, H 1)‖H 1 ‖ 2 = 1 2 .P(x) = − 1 2 + x.Rešenje 2. Prva tri člana Hermiteovih ortogonalnih polinoma suH 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2x, H 2 (x) = 4x 2 − 2.Ako prirodni bazis polinoma izrazimo preko Hermiteovog bazisa, tj. stepene x kizrazimo pomoću Hermiteovih polinoma, imamoSada je1 = H 0 , x = 1 2 H 1, x 2 = 1 4 (H 2 + 2H 0 ).(1) f(x) = x − x 2 = − 1 2 H 0 + 1 2 H 1 − 1 4 H 2.