Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 211Proces možemo nastaviti tako što sada odred¯ujemo novo h kao h = min |¯x −x i |(i = 0,1, 2), te za nove interpolacione tačke uzimamo x 0 = ¯x − h, x 1 = ¯x, x 2 =¯x + h, izračunavamo r 1 na osnovu (4), C 1 i C 2 na osnovu (5), a zatim novuaproksimaciju korena na osnovu (6), itd.Literatura:G.V. Milovanović, M.A. Kovačević, D¯ .R. D¯ ord¯ević: Iterativno rešavanje nelinearnihjednačina primenom dirigovane Pronyeve interpolacije. Zbornik radovaGrad¯evinskog fakulteta u Nišu, N ◦ 1 (1980), 163–169.M.A. Kovačević: Prilozi teoriji i praksi iterativnih procesa. Magistarski rad,Niš, 1982.C.J. Ridders: Determination of F(x) = 0 by means of p(x) = −A+B exp(Cx).Appl. Math. Modelling, 2 (1978),138.C.J. Ridders: Three-point iteration derived from exponential curve fitting. IEEETrans. Circuits and Systems, 26(1979), 669–670.6.2. Problem najboljih aproksimacija6.2.1. Funkciju x ↦→ f(x) = cos x aproksimirati funkcijom x ↦→ Φ(x) =a 0 + a 1 x u prostoru: 1 ◦ L 1 (0, π/2), 2 ◦ L 2 (0, π/2).Rešenje. Definišimo funkciju greške δ 1 (x) = cos x − a 0 − a 1 x (0 ≤ x ≤ π/2).1 ◦ Najbolju L 1 (0, π/2) aproksimaciju dobijamo minimizacijom normeJ(a 0 , a 1 ) = ‖δ 1 ‖ 1 =Z π/20|cos x − a 0 − a 1 x| dx .Optimalne vrednosti parametara a 0 i a 1 odred¯ujemo iz sistema jednačina∂J∂a 0=∂J∂a 1=Z π/20Z π/20(−1) sgn (cos x − a 0 − a 1 x)dx = 0 ,(−x)sgn (cos x − a 0 − a 1 x) dx = 0 .S obzirom da se može uzeti da funkcija x ↦→ cos x − a 0 − a 1 x menja znak nasegmentu [0, π/2] u tačkama x 1 i x 2 (videti sl. 1) to se prethodni sistem jednačinasvodi na sistemx 2 − x 1 = π 4 ,x2 2 − x 2 1 = π28 ,