Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 167Naime, važip(x) = x n „ 1x − x 1«· · ·„ 1x − x n«+ (−1) n−1 x 1 x 2 · · · x n (x − x 1 ) · · · (x − x n )= (1 − x 1 x) · · · (1 − x n x) + (−1) n−1 x 1 · · · x n (x − x 1 ) · · · (x − x n )= (−1) n x 1 · · · x n x n + · · · + (−1) n−1 x 1 · · · x n x n + . . . ,pa je, dakle, to polinom stepena ne većeg od n − 1.S obzirom da je ω(x k ) = 0 (k = 1, . . . , n), sada na osnovu (1) imamop(x) =nXk=1„ «ω(x) 1(x − x k )ω ′ (x k ) xn kω .x kUzimajući u poslednjoj jednakosti x = −1 i imajući u vidu da jep(−1) = (−1) n (−1 − x 1 ) · · ·(−1 − x n )+ (−1) n−1 x 1 · · · x n (−1 − x 1 ) · · · (−1 − x n )= (1 + x 1 ) · · ·(1 + x n ) − x 1 · · · x n (1 + x 1 ) · · · (1 + x n )= (1 + x 1 ) · · · (1 + x n )[1 − x 1 x 2 · · · x n ]iω(−1) = (−1) n (1 + x 1 ) · · · (1 + x n ),dobijamo(1 + x 1 ) · · ·(1 + x n )(1 − x 1 x 2 · · · x n ) = (−1) n−1 (1 + x 1 ) · · · (1 + x n )××nXk=1odakle, s obzirom da je x i ≠ −1 (i = 1, . . . , n), sledujenXk=1x n k ω (1/x k)(1 + x k )ω ′ (x k ) ,x n k ω (1/x k)ω ′ (x k )(1 + x k ) = (−1)n−1 (1 − x 1 x 2 · · · x n ).6.1.12. Neka su x 0 ,x 1 , ... ,x n proizvoljni celi brojevi i neka x 0 < x 1