Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 914.2.7. Dati sistem linearnih jednačina1.3x 1 − 0.2x 2 + 0.1x 3 = 1.0,−0.1x 1 + 0.9x 2 = 0.8,0.2x 1 − 0.3x 2 + 0.8x 3 = −0.9,transformisati na oblik pogodan za upotrebu metoda proste iteracije i Gauss–Seidelovog metoda.a) Pokazati da, u tom slučaju, oba metoda konvergiraju i naći x (1) ,x (2) ,x (3) pri izboru x (0) = 0.b) Utvrditi, koliko je iteracija (teoretski) potrebno izračunati pri korišćenjumetoda proste iteracije da bi važila ocena ‖x ∗ − x (k) ‖ ∞ < 10 −4 (x ∗ jetačno rešenje zadatog sistema).Rešenje. Zadati sistem transformišimo na jedan od oblika koji je pogodan zakorišćenje metoda proste iteracije i Gauss–Seidelovog metoda:x 1 = −0.3x 1 + 0.2x 2 − 0.1x 3 + 1,x 2 = 0.1x 1 + 0.1x 2 + 0.8,x 3 = −0.2x 1 + 0.3x 2 + 0.2x 3 − 0.9.a) Odredimo najpre ‖ · ‖ ∞ normu matrice23−0.3 0.2 −0.1B = 4 0.1 0.1 0.0 5 : ‖B‖ ∞ = max{0.6, 0.2, 0.7} = 0.7.−0.2 0.3 0.2Kako je norma manja od jedinice to oba navedena metoda konvergiraju.Pri izračunavanju aproksimacija metodom proste iteracije koristimo formulex (k+1)1= −0.3x (k)1+ 0.2x (k)2− 0.1x (k)3+ 1x (k+1)2= 0.1x (k)1+ 0.1x (k)2+ 0.8x (k+1)3= −0.2x (k)1+ 0.3x (k)2+ 0.2x (k)3− 0.99>=>;(k = 0, 1, . . .),a Gauss–Seidelovim iteracionim metodom, formulex (k+1)1= −0.3x (k)1+ 0.2x (k)2− 0.1x (k)3+ 1x (k+1)2= 0.1x (k+1)1+ 0.1x (k)2+ 0.8x (k+1)3= −0.2x (k+1)1+ 0.3x (k+1)2+ 0.2x (k)3− 0.99>=>;(k = 0,1, . . .).