Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

118 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIRešenje. Ako pod¯emo od Newtonovog metoda čiji je red konvergencije jednakdvax k+1 = x k − f(x k)f ′ (x k ) ,sa iterativnom funkcijomφ 1 (x) = x − f(x)f ′ (x) ,i na njega primenimo postupak za ubrzavanje konvergencije (videti teoremu 2.4.1[1, str. 197]), dobićemox k+1 = x k − x k − φ 1 (x k )1 − 1 = x k −r φ′ 1 (x k)1 − 1 2= x k −2f(x k )f ′ (x k )2f ′2 (x k ) − f(x k )f ′′ (x k ) .x k − x k + f(x k)f ′ (x k )1 − f ′ 2 (xk ) − f(x k )f ′′ (x k )f ′2 (x k )Dakle, dobijen je iterativni proces reda ne manjeg od tri. U literaturi je poznatkao Salehov metod tangentnih hiperbola ili kao Halleyev metod.5.1.14. Za nalaženje prostog korena x = a jednačine f(x) = 0 koristi seiterativni procesx k+1 = F(x k ), k = 0,1, ... ,gde je2f(x)F(x) = x −√.f ′ (x) + sgn(f ′ (x)) f ′2 (x) − 2f(x)f ′′ (x)Odrediti red i faktor konvergencije ovog iterativnog procesa.Rešenje. Transformišimo najpre iterativnu funkciju2f(x)F(x) = x −qf ′ (x) + sgn(f ′ (x)) f ′2 (x) − 2f(x)f ′′ (x)= x −f ′ (x) + f ′ (x)2f(x)s1 − 2f(x)f ′′ (x)f ′2 (x)= x − 2f(x)f ′ (x)1 +s1!1 − 2f(x)f ′′ (x)f ′2 (x)Odredimo, dalje, redom razvoje po stepenima od e = x − a za funkcijesf(x)f ′ (x) , f(x)f ′′ (x)f ′2 , 1 − 2f(x)f ′′ (x) 1(x) f ′2 , s.(x)1 + 1 − 2f(x)f ′′ (x)f ′2 (x).