Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA 135tj.(3)8>:x(k + 1) = x(k) − 1 » „« –1x(k)fD k − 1 +k x(k) 2 g+ y(k) k ,y(k + 1) = y(k) − 1D k"− y(k) +12 p x(k)!f k +#2x(k)x(k) 2 + y(k) g k ,za k=0, 1, . . . (D k =D (x(k), y(k)) , f k =f (x(k), y(k)), g k =g (x(k), y(k)).)Startujući sa x(0) = 2.4, y(0) = −0.6 dobijamok x(k) y(k)0 2.4 −0.61 2.4125245 −0.64405042 2.4122488 −0.64385633 2.4122488 −0.6438563pa su približne vrednosti korena x ∼ = 2.4122488, y ∼ = −0.6438563.Primedba. Sistem nelinearnih jednačina dat zadatkom možemo rešiti njegovimsvod¯enjem na jednu nelinearnu jednačinu, te korišćenjem nekog iterativnogprocesa za njeno rešavanje.Dakle, iz uslova g(x, y) = 0 sleduje y = − 1 √ x, pa jednačina f(x, y) = 0 postaje„log x 2 − √ 1 «= 1 + √ 1 ,x xtj.(4) x 2 − 1 √ x= e 1+1/√ x .Ako stavimo x = t 2 , na osnovu (4) imamo t 5 = 1 + t e 1+1/t , tj.(5) t = 5p 1 + t e 1+1/t .Sada, na osnovu (5), formirajmo metod proste iteracijet k+1 = 5 q1 + t k e 1+1/t k (k = 0, 1, . . .).Startujući sa t 0 = p x(0) ∼ = 1.55 dobijamo