Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

KARAKTERISTIKE PROCESA I UBRZAVANJE KONVERGENCIJE 63primenimo prethodnu teoremu i izvršimo ubrzavanje konvergencije Newtonovogiterativnog metoda koji ima red konvergencije r = 2.Dakle, iterativni proces x k+1 = ψ(x k ) (k = 0, 1, . . .), gde jeψ(x) = ϕ(x) − 1 2 ϕ′ (x)(x − ϕ(x))(3)= x − f(x)f ′ (x) − 1 f(x)f ′′ (x)2 f ′ (x) 2= x − f(x)f ′ (x) − 1 f ′′ (x)2 f ′ (x)„ f(x)f ′ (x)f(x)f ′ (x)« 2ima red konvergencije najmanje tri.Upored¯ivanjem iterativnih funkcija (1) i (3) zaključujemo da iterativnu funkciju(1) možemo identifikovati sa iterativnom funkcijom (3) ako uzmemoh(x) = − f ′′ (x)2f ′ (x) .3.2.5. Naći red konvergencije iterativnog procesa(1) x k+1 = αg(x k) − x k h(x k )g(x k ) − h(x k )(k = 1,2,... ),gde su(2) g(x) =f(x) − f(α)x − α, h(x) = f ′ (x)f(α)f(x),koji se koristi za nalaženje prostog korena x = a, izolovanog na segmentu[α,β], jednačine f(x) = 0. Uzimajući α = 0, x 1 = β = 1, f(x) = x 3 − 3x 2 +4x − 1, naći x 3 .Rešenje. Poznato je da modifikovani metod sečice(3) x k+1 = G(x k ) ,gde jeG(x) = x −x − αf(x) − f(α) f(x),ima red konvergencije r = 1 (videti [1, str. 349-350]).