Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

42 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEkoji ima poluprečnik konvergencije R = 1, važi f (1/3) = S.prethodnog zadatka pustimo da m → +∞, dobijamof(x) = 11 − x+∞ Xk=0„ « k∆ k xa 0 .1 − xAko u (3) izZa x = 1/3 imamo(1) S = f (1/3) = 3 2+∞ Xk=0∆ k a 012 k .S obzirom da jek a k ∆ a k ∆ 2 a k ∆ 3 a k ∆ 4 a k0 011 16762 8121963 2718374 640imamo ∆ k a 0 = 0 za k = 4, 5, . . . . Na osnovu (1) dobijamoS = 3 „1 · 0 + 1 2 2 · 1 + 1 4 · 6 + 1 «8 · 6 = 4.125 .2.2. Ortogonalni polinomi2.2.1. Koristeći se Gram–Schmidtovim postupkom ortogonalizacije odreditiprvih pet članova niza ortonormiranih polinoma {Q ∗ k } (k ∈ N 0) u prostoruL 2 (−1,1) sa težinskom funkcijom p(x) = ( 1 − x 2) −1/2.Rešenje. Izračunajmo najpre momente težinske funkcijeC n =Z 1−1x n√1 − x 2 dx (n ∈ N 0) .Kako je C 2k+1 = 0 (zbog neparnosti podintegralne funkcije), ostaje da izračunamoC 2k =Z 1−1x 2k√1 − x 2 dx .