Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

224 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAi C 1 = 0. Na osnovu ovoga nalazimo da je za k = 2n+1, C 2n+1 = 0, a za k = 2n,C 2n =−8(2n + 3)(2n + 1)(2n − 1)π(n = 0,1, . . . ).Dakle, aproksimaciona funkcija Φ je data sa(4) Φ(x) = − 8 π[m/2]Xn=01(2n + 3)(2n + 1)(2n − 1) S 2n(x) (|x| ≤ 1) .Za Čebiševljeve polinome druge vrste S n važi ista rekurentna relacija kao i zaČebiševljeve polinome prve vrste T n , tj.S n+1 (x) = 2x S n (x) − S n−1 (x) (n = 1,2, . . .),pri čemu je S 0 = 1, S 1 = 2x, pa nalazimo S 2 = 4x 2 − 1, S 4 = 16x 4 − 12x 2 + 1.Na osnovu (4), za m = 5, dobijamoΦ(x) = 83π − 8 2 8`4x − 1´−4`16x − 12x2 + 1´15π 105π= 328105π − 128105π x2`1 + x 2´ .6.2.8. U skupu polinoma stepena ne višeg od m, naći najbolju srednjekvadratnuaproksimaciju funkcije x ↦→ f(x) = e −ax (a > 0), na intervalu(0, +∞) sa težinom x ↦→ e −x .Rešenje. Predstavimo aproksimacionu funkciju Φ u oblikuΦ(x) =mXC n L n (x),n=0gde su L n (x) Laguerreovi polinomi koji su ortogonalni na intervalu (0, +∞) satežinom x ↦→ e −x . S obzirom na tu činjenicu, koeficijente C n odred¯ujemo naosnovu(1) C n = (f, L n)(L n , L n )(n = 0,1, . . . , m) ,(videti [2, str. 94]), gde je skalarni proizvod u prostoru L 2 (0,+∞) definisan sa(f, g) =Z +∞0e −x f(x)g(x)dx (f, g ∈ L 2 (0,+∞)) .