Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

62 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCESAS obzirom da je„ «G ′ 2hf f′2 − f f′′„ « 2(x) = 1 +f ′ − 1 + h ′ ff ′ 2 f ′ ,`h′ G ′′ f + hf ′´ f ′ − h f f ′′ f ′ 2 − f f′′(x) = 2i f(a) = 0, imamoIz uslova G ′′ (a) = 0 nalzaimopa je dakle tražena funkcijaf ′ 2f ′ 2„ « `f ′ 2h ff ′′ − f f ′′′´f ′ 2 − 2“f ′ 2 ” − f f′′f ′ f ′′+f ′ − 1+ h ′′ „ ff ′ « 2+ 2h ′ ff ′ „ ff ′ « ′f ′ 4G(a) = a, G ′ (a) = 0, G ′′ (a) = 2h(a) + f ′′ (a)f ′ (a) .h(a) = − f ′′ (a)2f ′ (a) ,h(x) = − f ′′ (x)2f ′ (x) .Prethodno opisani postupak očigledno nije podesan kada treba nalaziti višeizvode iterativne funkcije i kada je iterativna funkcija komlikovanija.Drugi način: Pod¯imo sada od sledeće teoreme (videti [1, str. 197]): Neka jex k+1 = Φ(x k ) (k = 0, 1, . . .) iterativni proces sa konvergencijom“reda r (≥ 2)”ifunkcija Φ (r+1)-puta diferencijabilna u okolini granične tačke a lim x k = a .k→+∞Tada jex k+1 = Φ(x k ) − 1 r Φ′ (x k ) (x k − Φ(x k )) (k = 0, 1, . . .)iterativni proces najmanje reda r + 1.S obzirom da u iterativnoj funkciji (1) prepoznajemo deo koji predstavlja iterativnufunkciju Newtonovog metodaϕ(x) = x − f(x)f ′ (x) ,