Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

6 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKESvaki broj x može se predstaviti u normalizovanom obliku(2) x = (±0.a 1 a 2 . . . a n a n+1 . . .)b k (a 1 ≠ 0),gde je b osnova brojnog sistema, a a i (i = 1,2, . . .) cifre brojnog sistema (0 ≤ a i ≤b − 1).Broj ±0.a 1 a 2 . . . a n a n+1 . . . zvaćemo mantisom i označavati sa x ⋆ . Broj kzvaćemo karakteristikom. Dakle, možemo pisati x = x ⋆ b k . Najčešće su u upotrebibinarni (b = 2) i decimalni (b = 10) brojni sistemi.Po definiciji kaže se da broj x aproksimira broj x sa l značajnih cifara ako je lnajveći broj za koji |x ⋆ − x ⋆ | ne prelazi jedinicu l-tog mesta, tj.(3) |x ⋆ − x ⋆ | ≤ ω b −l , ω ∈ (0,1].Primetimo da je broj značajnih cifara broja x u direktnoj vezi sa granicomrelativne greške. Naime, ako nejednakost iz (3) pomnožimo sa b k (k – karakteristikabrojeva x i x), podelimo sa |x| i imamo u vidu da je b −1 ≤ |x ⋆ | < 1, dobijamo(4) |r| =|x − x||x|≤ ω bk−l|x|≤ ω bk−l|x ⋆ | b k ≤ ω bk−lb −1 b k = ω b−l+1 ,gde je ω ∈ (0,1].Približan broj x broja x se pojavljuje u izračunavanjima iz različitih razloga.Na primer, x je rezultat nekog merenja sa odgovarajućom tačnošću (bolje rečeno,netačnošću). Tada, umesto x uzimamo x kako bismo izbegli izlišan numerički rad,s obzirom na tačnost rezultata koja je potrebna, ili je pak x dobijeno kao rezultatnekog predprocesiranja koje je unelo grešku.Dalje, u praktičnim izračunavanjima koristimo računar. Za predstavljanje realnogbroja u memoriji računara se obezbed¯uje deo prostora. Dati broj se zapisujeu binarnom brojnom sistemu (b = 2, pomoću cifara 0 i 1). Najčešé se koristinormalizovan zapis broja u tzv. pokretnoj tački 3) . Neka je za mantisu, u zapisubroja u računaru, obezbed¯en prostor za znak i n cifara (0 ili 1), a za karakteristikuprostor za znak i m cifara (0 ili 1). Dakle, ako zanemarimo ograničenje u pogledukonačnosti broja pozicija za karakteristiku (karakteristika je ceo broj pa se on uračunaru ili tačno zapisuje ili se ne može uopšte zapisati ako je broj “enormno”veliki po modulu i u tom slučaju kažemo da postoji prekoračenje kapaciteta memorijskogregistra ili je broj “enormno” mali po modulu pa se on tretira u računarukao nula), tada se svaki realan broj oblika (2), koji se dobija kao početni podatakili kao rezultat odred¯enih računskih operacija, zamenjuje približnim brojem oblika3) Na engleskom: floating point.x = (±0.a 1 a 2 . . . a n )b k (a 1 ≠ 0).