Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ITERATIVNI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI 83Rešenje. Najpre utvrdimo da li je ovaj metod konvergentan. Norme matriceB imaju vrednosti‖B‖ ∞ = max{0.5 + 1, 1.25 + 1.5} = 2.75,‖B‖ 1 = max{0.5 + 1.25, 1 + 1.5} = 2.5,p‖B‖ 2 = 0.5 2 + 1 2 + 1.25 2 + 1.5 2 = 2.25.Ni jedna od ovih normi matrice B nije manja od jedinice, pa dakle nije ispunjendovoljan uslov za konvergenciju odgovarajućeg metoda proste iteracije.Da bismo proverili potrebne i dovoljne uslove nad¯imo spektralni radijus matriceB. Karakteristična jednačina matrice B je0.5 − λ 1˛ −1.25 −1.5 − λ ˛ = 0, tj. λ2 + λ + 0.5 = 0.Koreni karakteristične jednačine su λ 1,2 = −0.5±0.5i, spektralni radijus je ̺(B) =√0.5 2 + 0.5 2 = 0.7071 < 1. Dakle, metod proste iteracije, za sistem iz ovog zadatka,konvergira. Za odred¯ivanje x (1) ,x (2) ,x (3) pri startnoj vrednosti −→ x (0) = βkoristimo iterativni procesTako dobijamox (1) =x (k+1) = B x (k) + β (k = 0, 1,2, . . . ).» – » – » –3, x (2) 1= , x (3) 2.5= .−2.5 0 −1.25Radi ilustracije navodimo tabelu suksesivnih aproksimacija x (1) ,x (2) , . . . ,x (9) :x (0) x (1) x (2) x (3) x (4) x (5)»20– » – » – » – » – » –3 1 2.5 2 1.75−2.5 0 −1.25 −1.25 −0.625x (6) x (7) x (8) x (9) . . . x ∗» –2.25»1.875– »2– » –2.0625» –2−1.25 −0.9375 −0.9375 −0.9940−1Uočavamo konvergenciju niza suksesivnih aproksimacija ka tačnom rešenjux ∗ = [2 − 1] ⊤ .