Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

204 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJApostupamo na sledeći način.Polinom H ij (x) je ne višeg stepena od m. On je deljiv sa (x − x i ) j , stoga gamožemo predstaviti u oblikuH ij (x) = B (0)ij (x − x i) j + B (1)ij (x − x i) j+1 + · · · + B (m−j)ij(x − x i ) miliDakle,H ij (x)(x − x i ) j = B(0) ij+ B (1)ij (x − x i) + · · · + B (m−j)ij(x − x i ) m−j .» –Hij (x) (k−p)limx→x i (x − x i ) j = (k − p)! B (k−p)ij.S druge strane, koeficijente B (k−p)iju razvoju H ij (x) po stepenima od x − x i ,možemo predstaviti u oblikuU našem slučaju jeB (k−p)ij= H(j+k−p) ij(x i )(j + k − p) !j + k − p ≤ j + k ≤ j + α i − j − 1 = α i − 1.Uočimo da je B (k−p)ij(k −p = 0,1, . . . , α i −j −1) različito od nule samo za p = k,i u tom slučajuB (0)ij= 1 j ! .Dakle,iA (k)ij= 1 k!H ij (x) = 1 j !limx→x id k »d x k1Ω i (x)Ω(x)α iX−j−1(x − x i ) α i−jk=0–H ij (x)(x − x i ) j = 1 »k !j !»1k!.1Ω i (x)– (k)Na osnovu svojstava funkcija x ↦→ H ij (x) nije teško uočiti daϕ(x) ≡ H m (x) =nXα i −1Xi=0 j=0y (j)iH ij (x)1Ω i (x)– (k)x=x ix=x i(x − x i ) k .