Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

362 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAgde su(3)mXΦ(x, y, h) = c i k i ,i=1k 1 = f(x,y),k i = f(x + a i h, y + b i h), i = 1,2, . . . , m,i−1i−1XXa i = α ij , b i = α ij k j , i = 1,2, . . . , m.j=1j=1Za metod Runge-Kutta dat ovim zadatkom imamo m = 3 i(4) Φ(x,y, h) = 1 10 (k 1 + 5k 2 + 4k 3 ).S obzirom na Taylorov razvojimamoy(x + h) = y(x) + hy ′ (x) + h22! y′′ (x) + h33! y′′′ (x) + O(h 4 ),(5) Φ T (x, y, h) =y(x + h) − y(x)h= y ′ (x) + h 2 y′′ (x) + h26 y′′′ (x) + O(h 3 ).Metod (2) je reda p ako je p najveći ceo broj za koji važiΦ T (x, y, h) − Φ(x,y, h) = O(h p ).Poznato je (videti [3, str. 67]) da ako sa p(m) označimo maksimalni mogući redmetoda (2), tada jep(m) = m (m = 1, 2,3,4)= m − 1 (m = 5,6, 7)= m − 2 (m = 8,9)≤ m − 2 (m = 10,11, . . . ).Zato, u ovom slučaju, možemo zaključiti da je p ≤ 3.Nad¯imo razvoj Φ T (x, y, h) po stepenima od h. Korišćenjem Mongeovih oznakaza parcijalne izvode, na osnovu (1) imamoy ′′ = ddx y′ = ddx f(x, y) = f x + ff y = F,y ′′′ = ddx (f x + ff y ) = f xx + 2ff xy + f 2 f yy + f y (f x + ff y ) = G + f y F,