Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

84 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRI4.2.4. Dokazati da se na rešavanje sistema linearnih jednačina(1)10 x 1 + 3x 2 − x 3 = 12,− x 1 + 5x 2 − x 3 = 3,x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 13,može primeniti Jacobiev iterativni metod, a zatim, primenom ovog metoda,odrediti prvih pet iteracija.Rešenje. Dati sistem možemo predstaviti u obliku(2) Ax = b ,gde su23 210 3 −1A = 4 −1 5 −1 5 , x = 4 x 3 21x 25 , b = 4 12 33 5 .1 2 10x 3 13Sa datog sistema (2) pred¯imo na oblik(3) x = Bx + β ,na osnovu koga formiramo, jednostavno, metod proste iteracijex (k) = Bx (k−1) + β .Prelaz sa oblika (2) na oblik (3) nije jedinstven. Jedan način prelaza i formiranjametoda proste iteracije, koji ćemo sada izložiti, poznat je kao Jacobiev metod.Neka jeNa osnovu (2), imamotj.D = diag(A) =24 10 0 030 5 0 50 0 10Dx = −(A − D) x + b ,(4) x = −D −1 (A − D)x + D −1 b ,što podrazumeva regularnost matrice D.Na osnovu (4) formiramo metod proste iteracije(5) x (k) = −D −1 (A − D)x (k−1) + D −1 b ,