Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

278 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAIz sistema jednačinaA 1 + A 2 + A 3 = 1 , A 2 + 2A 3 = 1 , A 2 + 4A 3 = 2nalazimo A 1 = A 3 = 1 2 , A 2 = 0, što znači da odgovarajuća kvadraturna formuladegeneriše u dvotačkastu formulu(1)Z +∞0e −x f(x)dx = 1 2“”f(0) + f(2) + R 2 (f)Kako je R 2 (x 3 ) = 3! − 1 “0 3 + 2 3” = 2 ≠ 0 zaključujemo da formula (1) ima2algebarski stepen tačnosti p = 2.7.2.3. Odrediti koeficijente A k (k = 1,2,3,4) u kvadraturnoj formuli(1)∫ 1−1f(x)dx = A 1 f(−1) + A 2 f(1) + A 3 f ′ (−1) + A 4 f ′ (1) + R(f),tako da ona ima maksimalni mogući algebarski stepen tačnosti. Primenomdobijene formule približno odrediti vrednost integrala(2) I =∫ π/20sintdtRešenje. S obzirom da formula ima 4 nepoznata koeficijenta, to ćemo njihodrediti iz uslova da formula bude tačna za sve algebarske polinome stepena k ≤ 3.Dakle, stavljajući za f(x) redom 1, x, x 2 , x 3 , na osnovu (1) dobijamo sistemjednačinaA 1 +A 2= 2 ,−A 1 +A 2 + A 3 + A 4 = 0 ,A 1 +A 2 − 2A 3 + 2A 4 = 2/3 ,−A 1 +A 2 + 3A 3 + 3A 4 = 0 ,odakle nalazimo A 1 = A 2 = 1, A 3 = −A 4 = 1 3 .Sa tako odred¯enim koeficijentima, formula (1) za f(x) = x 4 se svodi na25 = (−1)4 + 1 4 + 1 3 · 4 · (−1)3 − 1 3 · 4 · 13 + R(x 4 ) ,