Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

VI G L A V AInterpolacija i aproksimacija6.1. Interpolacija funkcija(1)6.1.1. Dat je sistem funkcija{ 1P(x) ,xP(x) ,... ,x n },P(x)gde je P algebarski polinom koji nema nula na [a,b]. Dokazati da je (1)Čebiševljev sistem.Rešenje. S obzirom da je P(x) ≠ 0 (∀x ∈ [a, b]) možemo definisati sistemfunkcija Φ k : [a, b] ↦→ R, pomoću Φ k (x) = (k = 0, 1, . . . , n). Neka suP(x)x k (k = 0, 1, . . . , n) proizvoljni čvorovi na [a, b] uz jedini uslov da su med¯usobnorazličiti.Primetimo da je sistem funkcija (1) linearno nezavisan. Da bismo dokazali daje i Čebiševljev sistem, dovoljno je dokazati da je matrica:xk23Φ 0 (x 0 ) Φ 1 (x 0 ) · · · Φ n (x 0 )Φ 0 (x 1 ) Φ 1 (x 1 ) Φ n (x 1 )G = 674.5Φ 0 (x n ) Φ 1 (x n ) Φ n (x n )regularna za bilo koji skup tačaka x 0 , x 1 , . . . , x n (x i = x j ⇔ i = j).Zaista, kako jedet G =1P(x 0 )P(x 1 ) · · · P(x n )1 x 0 · · · x n 01 x 1 x n 1.˛1 x n x n ˛