Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

30 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEUočena netačnost ne može biti pripisana samo velikom obimu izračunavanja,tj. nagomilavanju greške zaokrugljivanja med¯urezultata u procesu izračunavanjana računskoj mašini. Ako, na primer, izračunavamo sumu iz (1) u kojoj se indekssume kreće od k = 1 do k = n/2, tj. sumu˜λ n =12n + 1 + 2 n/2X 1π k tan kπ2n + 1 ,k=1slaba uslovljenost tangensa se ne pojavljuje. U tom slučaju, čak i za n = 10 5 ,dobijamo dovoljno tačne rezultate i u običnoj aritmetici:n ˜λn (S–aritmetika) ˜λn (D–aritmetika)1 0.3333333 0.333333333310 0.5706023 0.5706023118100 0.5436349 0.54363497311000 0.5407878 0.540787397110000 0.5405016 0.5405010908100000 0.5404736 0.54047244462.1.11. Izračunatiza fiksirani prirodan broj n.Rešenje. Za n = 0 imamoI n =∫ 10t nt + 5 dt(1) I 0 =Z 10dt= log(t + 5)˛˛1t + 5 0 = log 6 5 .Da bismo našli rekurentnu formulu za odred¯ivanje traženog integrala, uočimo datt + 5 = 1 − 5t + 5 .Množenjem obe strane sa t k−1 i integracijom od 0 do 1 dobijamo(2) I k = −5I k−1 + 1 , k = 1, . . . , n.kDakle šema za izračunavanje I n bi se mogla ovako definisati: Startujući saI 0 koje je dato sa (1), sukcesivno primenjujemo (2) za k = 1, 2, . . . , n, i takodobijamo I n .