Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 193ili direktno, na osnovu polja prostiranja greške ε, očitavamo na osnovu ,,neporemećenih‘‘trećih razlika ∆ 3 f 4 = ∆ 3 f 3 = 48·10 −3 , a dalje, s obzirom na ∆ 3 f 3 −ε =52 · 10 −3 , nalazimo ε = −4 · 10 −3 .Grešku ε možemo naći u ovom slučaju i na osnovu drugih razlika koje bi utačnoj tablici morale obrazovati aritmetičku progresiju (s obzirom da bi treće razliketrebalo da budu konstantne). Dakle, tačna vrednost ∆ 2 f 2 je∆ 2 f 2 = 1 3““∆ 2 f 1 + ε”+“∆ 2 f 2 − 2ε”+“∆ 2 f 3 + ε= 1 3 (332 + 392 + 428) · 10−3 = 384 · 10 −3 ,pa ε nalazimo na osnovuε = 1 “ “ ””∆ 2 f 2 − ∆ 2 f 2 − 2ε = 1 22 (384 − 392) · 10−3 = −4 · 10 −3 .Najzad, ispravljena vrednost f za x = 1.6, bićef 3 = (f 3 + ε) − ε = 0.872 − (−0.004) = 0.876 .””6.1.29. Koristeći metode interpolacije, odrediti karakteristični polinommatrice⎡ ⎤1 3 1 4⎢ 2 4 1 1 ⎥A = ⎣ ⎦ .3 5 4 24 3 1 2Rešenje. Karakteristični polinom matrice A jeQ(λ) = det (A − λI) ,gde je I jedinična matrica istog reda kao i A. S obzirom da je, u ovom slučaju,karakteristični polinom četvrtog stepena, uzmimo pet interpolacionih čvorova, naprimerλ k = k (k = 0, 1,2,3, 4) ,za koje nalazimo odgovarajuće vrednosti Q(λ k ) = Q(k) = Q k (k = 0,1, 2,3,4), azatim formiramo tablicu konačnih razlika operatora ∆ :λ k Q k ∆ Q k ∆ 2 Q k ∆ 3 Q k ∆ 4 Q k0 −931 −2469−382 731−68−30243 −30− 37−74−64 −141−111