Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

6.1.17. OdreditiINTERPOLACIJA FUNKCIJA 1731 ◦ ∆ (af(x) + bg(x)) , 4 ◦ ∆ f(x)g(x) ,2 ◦ ∆ ( ax 2 + bx + c ) , 5 ◦ ∆ sin(ax + b),3 ◦ ∆ (f(x)g(x)) , 6 ◦ ∆ log x.Rešenje. 1 ◦ ∆ (a f(x) + b g(x)) = a ∆f(x) + b ∆g(x).2 ◦ ∆“”ax 2 + bx + c = a ∆x 2 + b ∆x + c∆1“= a (x + h) 2 − x 2” + b ((x + h) − x) + c(1 − 1)= 2ahx + ah 2 + bh .3 ◦ ∆ (f(x)g(x))= f(x + h) g(x + h) − f(x)g(x)= f(x + h) g(x + h) − f(x + h) g(x)+ f(x + h) g(x) − f(x)g(x)= f(x + h) ∆ g(x) + g(x)∆f(x)ili∆(f(x)g(x)) = f(x)∆ g(x) + g(x + h) ∆ f(x).4 ◦ ∆ f(x) f(x + h)=g(x) g(x + h) − f(x)g(x)f(x + h) g(x) − f(x)g(x + h) + (f(x)g(x) − f(x)g(x))=g(x)g(x + h)g(x)∆f(x) − f(x)∆g(x)=g(x) g(x + h)5 ◦ ∆ sin(ax + b)= sin (a(x + h) + b) − sin(ax + b)= 2sin ah “ „a2 cos + x + h ” «+ b2„6 ◦ ∆ log x = log(x + h) − log x = log 1 + h «.x6.1.18. Dokazati da su operatori A, B, C, definisani saA = ∆(1 + 1 )2 ∆ (1 + ∆) −1 , B = ∇(1 − 1 )2 ∇ (1 − ∇) −1 , C = µδ ,ekvivalentni, razvijajući ih po stepenima operatora pomeranja E. Na osnovuprethodnog, naći razvoj operatora C po stepenima operatora prednje razlike∆ i po stepenima operatora zadnje razlike ∇.