Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

134 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI5.2.2. Rešiti sistem jednačinaf(x,y) = log ( x 2 + y ) + y − 1 = 0,g(x,y) = √ x + xy = 0,startujući sa (x(0), y(0)) = (2.4, −0.6).Rešenje. Dati sistem nelinearnih jednačina možemo predstaviti u obliku(1) f (x) = 0 ,gde su» –xx = , f (x) =y» –f(x, y).g(x, y)Metod Newton–Kantoroviča za rešavanje sistema (1) dat je formulom(2) x(k + 1) = x(k) − W −1 (x(k)) f (x(k)) (k = 0,1, . . .),gde je W (x) Jacobieva matrica za f, tj.23 2∂f ∂f∂x ∂yW (x) =674 ∂g ∂g 5 = 64∂x ∂ySada nalazimogde jeW −1 (x) =1D(x, y)2642xx 2 + yy + 12 √ x1 + 1x 2 + yxx −1 − 1x 2 + y−y − 12 √ x2xx 2 + y3375 ,75 .D(x, y) =2x2x 2 + y − x2 + y + 1x 2 · 1 + 2√ xy+ y 2 √ x= 1 » “ ” „x 2 2x 2 − x 2 + y + 1 y + 1 «–+ y2 √ .xDakle, na osnovu (2), imamo2 3 2 3 2x(k + 1) x(k)x(k)6 74 5 = 6 74 5 − 16D k 4 1−y(k) −y(k + 1) y(k)2 p x(k)−1 −1x(k) 2 + y(k)2x(k)x(k) 2 + y(k)3 2 3f k7 65 4g k75 ,