Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

342 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINADakle, na osnovu 1 ◦ i 2 ◦ sleduje da je za −1 < b ≤ 1 metod (1) nula-stabilan,a samim tim i konvergentan, s obzirom na konzistenciju za svako b.Odredimo sada red metoda za −1 < b ≤ 1. S obzirom da je p ≥ 1 iC j = 1 ihα 1 + 2 j α 2 + 3 j 1iα 3 −hβ 1 + 2 j−1 β 2 + 3 j−1 β 3 (j=2, 3, . . . )j!(j − 1)![3, str. 22], nalazimo C 0 = C 1 = C 2 = C 3 = 0 i C 4 = 1 (9 + b) ≠ 0, pa24zaključujemo da je red metoda p = 3.Primetimo da bismo za b = −9 povećali red metoda, ali on tada ne bi biokonvergentan.8.2.2. Konstruisati optimalni četvoro-koračni metod (k = 4).Rešenje. Nula-stabilan k-koračni metod koji ima red k+2 naziva se optimalnimetod. Za k = 4, opšti četvorokoračni metod možemo predstaviti sa4Xα i y n+i = hi=04Xβ i f n+i .Da bi konstante α i , β i (i = 0,1, 2,3, 4) bile jednoznačno odredive, uzmimo α 4 = 1.Poznato je da kod optimalnog metoda sve nule prvog karakterističnog polinomai=0(1) ρ(ξ) = ξ 4 + α 3 ξ 3 + α 2 ξ 2 + α 1 ξ + α 0 ,leže na jediničnom krugu.Iz uslova konzistentnosti sleduje C 0 = ρ(1) = 0, pa je jedna nula polinoma ρ(ξ)jednaka ξ 1 = 1.Iz uslova nula-stabilnosti sve nule polinoma ρ moraju biti proste (s obzirom dase nalaze na jediničnom krugu), a ima ih četiri obzirom da je polinom ρ četvrtogstepena. Poznato je da ako polinom sa realnim koeficijentima ima kompleksnunulu, tada je i njena konjugovano kompleksna vrednost takod¯e nula polinoma.Dakle, ρ(ξ) ima jednu nulu ξ 1 = 1, a preostale tri nule leže na jediničnom krugu,pa zaključujemo da su dve konjugovano kompleksne, a jedna preostala je realna ito −1, tj.ξ 1 = 1 , ξ 2 = −1 , ξ 3 = e iθ , ξ 4 = e −iθ (0 < θ < π) .Sada je(2)ρ(ξ) = (ξ − 1)(ξ + 1)`ξ − e iθ´`ξ − e −iθ´= `ξ 2 − 1´`ξ 2 − 2cos θ · ξ + 1´= ξ 4 − 2cos θ ξ 3 + 2cos θ ξ − 1= ξ 4 − 2aξ 3 + 2a ξ − 1 ,