Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

230 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAko ovu jednakost pomnožimo sa e −x2 , nalazimo“′e −x2 H k+1 (x) = − e −x2 H k (x)”,pa je, na osnovu (2), v = −e −x2 H 2n (x). Sada je(f, H 2n+1 ) = √ 2 Z +∞e −2x2 H 2n (x)dx,π−∞a dalje, na osnovu (5) iz zadatka 6.2.9, dobijamo(3) (f, H 2n+1 ) = √ 2 · (−1)n (2n)!2 n n!S obzirom da jena osnovu (1) i (3), nalazimo(H k , H k ) = ‖H k ‖ 2 = 2 k k! √ π ,C 2n+1 = 1 √2πDakle, aproksimaciona funkcija Φ je data saS obzirom da je(−1) n8 n n! (2n + 1) .Φ(x) = √ 1[(m−1)/2]X (−1) n2π 8 n n!(2n + 1) H 2n+1(x).n=0H 1 (x) = 2x , H 3 (x) = 8 x 3 − 12 x , H 5 (x) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x,za m = 1, 3,5 dobijamo sledeće aproksimacijeerf (x) ∼ = 2x √2π,erf (x) ∼ = 1 √2π„ 52 x − 1 3 x3 «,erf (x) ∼ = 1 √2π„ 4316 x − 7 12 x3 + 1 20 x5 «..Napomena. Bilo koja polinomska aproksimacija funkcije erf (x) nije dobraza veliko |x|, s obzirom da svaki polinom teži beskonačnosti kada x → +∞. U