Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ORTOGONALNI I S-ORTOGONALNI POLINOMI 47pa, s obzirom na ortogonalnost, imamotj.Q 0 (x k )Q 0 (x) ‖Q 0 ‖ 2 ‖Q 0‖ 2 = − Q Zn+1(x k ) bQ n (x)α n ‖Q n ‖ 2 dx ,x − x kZ baQ n (x)dx = − α n ‖Q n ‖ 2x − x k Q n+1 (x k ) .Ako u (3) stavimo x = x k dobijamo Q n+1 (x k ) = −γ n Q n−1 (x k ). Kako je(videti [1, str. 100])na osnovu prethodnog, sleduje (1).α n = a n+1a ni γ n = α nα n−1‖Q n ‖ 2‖Q n−1 ‖ 2 ,2.2.4. Skalarni proizvod dveju neprekidnih funkcija f i g, koje su definisanena intervalu [a,b] i na njemu dobijaju vrednosti iz skupa C kompleksnihbrojeva, u oznaci (f,g), definišemo sa:a(f,g) =∫ baf(x)g(x)ω(x)dx(neprekidni slučaj),odnosno(f,g) =m∑f(x ν )g(x ν )ω νi=0(diskretni slučaj),gde je u prvom slučaju ω(x) težinska funkcija, a u drugom pozitivni brojeviω ν , i = 0,1, ... ,m, su težinski koeficijenti.Pokazati za sledeće sisteme funkcija da su ortogonalni:a) Neprekidni slučaj.ϕ j (x) = cos jx, j = 0,1, ... , [a,b] = [0,π], ω(x) ≡ 1.b) Diskretni slučaj.ϕ j (x) = cos jx, j = 0,1,... ,n, [a,b] = [0,π],x s = 2s + 1n + 1π2 , s = 0,1, ... ,n, m = n, ω s ≡ 1, s = 0,1, ... ,n.c) Neprekidni slučaj.1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ... , [a,b] = [−π,π], ω(x) ≡ 1.