Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ANALITIČKI METODI ZA REŠAVANJE CAUCHYEVOG PROBLEMA 337Naravno, u praktičnim primenama Picardovog metoda, iterativni proces (2)završavamo za neko s i dobijena vrednost y [s] (x) predstavlja približnu vrednostrešenja y(x). Pri ovome činimo neku grešku koju možemo proceniti na osnovu(3)˛˛y [s] (x) − y(x) ˛ ≤ M L s |x − x 0 | s+1(s + 1)!(videti teoremu 1.4.1 [3, str. 12]).(x ∈ I)Vraćamo se sada postavljenom zadatku u kome su x 0 = 0, y 0 = 1, f(x,y) =−xy (2 + y). Uzimajući y [0] = y 0 = 1, na osnovu (2) dobijamoy [1] = 1 +y [2] = 1 +Z x0Z x0(−t) 1(2 + 1) dt = 1 − 3 2 x2 ,(−t)„1 − 3 « „22 t2 + 1 − 3 «2 t2 dt= 1 − 3 2 x2 + 3 2 x4 − 3 8 x6 ,itd. Ocenimo sada grešku aproksimacije y [2] (x) korišćenjem nejednakosti (3). Kakoje funkcija (x, y) ↦→ f(x,y) = −xy (2+y) definisana i neprekidna za svako (x, y) ∈R 2 , to za α i β možemo izabrati proizvoljne brojeve. Uzmimo, na primer, α =13 , β = 3 2 . Tada je jD = (x,y) : |x| ≤ 1 3 , |y − 1| ≤ 3 ff,2M = max |f(x, y)| = 1x,y∈D 3 · 5 „2 + 5 «= 15 2 2 4 ,L = maxx,y∈D˛˛∂f∂y ˛ = 2 · 13„S obzirom na nejednakost h ≤ minmožemo uzeti»− 1 3 , 1 3α,–. Na osnovu (3) imamo„1 + 5 «= 7 2 3 .« „β 1= minM 3 , 2 «= 1 , za segment I5 3˛˛y [2] (x) − y(x) ˛ ≤ 15 4„ 73« 2 |x|33!= 24572 |x|3 ,tj.maxx∈I˛˛y [2] (x) − y(x) ˛ ≤ 24572 ·13 3 ∼ = 0.126 .