Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

44 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEmonični ortogonalni polinomi. Svakako, i niz {a k Q k } (k ∈ N 0 ), gde su a k (≠ 0)konstante, je takod¯e ortogonalan u odnosu na isti skalarni proizvod. Ako, u našemslučaju, odaberemo na primer a 0 = 1, a k = 2 k−1 (k = 1, 2, . . .) dobijamo polinome(1) T 0 (x) = Q 0 (x), T k (x) = 2 k−1 Q k (x) (k = 1,2, . . .)koji su poznati kao Čebiševljevi ortogonalni polinomi. Za njih važi8Z0 (m ≠ n),1>:π(m = n ≠ 0).2Na osnovu niza {Q k } (k ∈ N 0 ) možemo dobiti niz ortonormiranih polinoma{Q ∗ k } (k ∈ N 0) u odnosu na isti skalarni proizvod. Naime,Q ∗ k(x) = Q k(x)‖Q k ‖(k ∈ N 0 ).S obzirom da je ‖Q k ‖ 2 = (Q k , Q k ), imamopa su‖Q 0 ‖ 2 = C 0 = π , ‖Q 1 ‖ 2 = C 2 = 1 2 π , ‖Q 2‖ 2 = C 4 − C 2 + 1 4 C 0 = 1 8 π ,‖Q 3 ‖ 2 = C 6 − 3 2 C 4 + 9 16 C 2 = 1 32 π ,‖Q 4 ‖ 2 = C 8 − 2C 6 + 5 4 C 4 − 1 4 C 2 + 1 64 C 0 = 1128 π ,Q ∗ 0(x) = 1 √ π, Q ∗ 1(x) =r2π x, Q∗ 2(x) =r2π (2x2 − 1) ,Q ∗ 3(x) =r2π (4x3 − 3x), Q ∗ 4(x) =r2π (8x4 − 8x 2 + 1) .Za dobijeni ortonormirani niz uočavamo da je(3) Q ∗ 0(x) = 1 √ πQ 0 (x), Q ∗ k(x) =r2π 2k−1 Q k (x) (k = 1,2, . . .),što je, u stvari, u direktnoj vezi sa ortogonalnošću Čebiševljevih polinoma. Naime,s obzirom da jeQ ∗ k(x) = T k(x)‖T k (x)‖ ,na osnovu (1) i (2) sleduje (3).