Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

18 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEKao što je poznato, svako konkrentno izračunavanje na računskoj mašini se sastojiiz konačnog broja elementarnih operacija (sabiranje, oduzimanje, množenjei deljenje), a u formulama (1) i (2) se pojavljuje i unarna operacija korenovanja.Med¯utim, ova činjenica ne utiče na mogućnost analize greške. Naime, pri izračunavanjuvrednosti u = √ x na računskoj mašini, totalnu relativnu grešku r T u možemopredstaviti pomoćur T u = 1 2 r x + r 1 ,gde je r x relativna greška približnog broja ¯x koji ulazi u izračunavanje na mestostvarne vrednosti x, a r 1 je greška koju možemo smatrati ekvivalentnom relativnojmašinskoj greški (videti [1, str. 16]).Ako relativne mašinske greške odgovarajućih operacija označimo sa r 1i (i =1, . . . ,8), graf računskog postupka za formulu (1) je dat na slici 1.Na osnovu grafa dobijamo totalnu relativnu grešku√rx T b1=2 j »− 4ac 1−b + √ b 2 − 4ac 2b 2b 2 − 4ac r 11 −+ r 16 − r 17 + r 18 ,4ac– ffb 2 − 4ac (r 12 + r 13 ) + r 14 +r 15s obzirom da su relativne greške operanada r a = r b = r c = 0 (a, b i c su zadatitačno).Kako je, prema uslovu zadatka, b 2 ≫ 4ac to je√√ “b 2 − 4ac b 2 − 4ac b + √ ”b 2 − 4ac−b + √ b 2 − 4ac = −4ac≈b2−2ac ,što daje(3)b 2b 2 − 4ac ≈ 1 ,4acb 2 − 4ac ≈ 0 ,˛˛rx T b 2 „ «|r11 | + |r1˛˛˛ ≤14 |+ |r 15 | + |r 16 | + |r 17 | + |r 18 | .2ac 2Ako je granica relativne mašinske greške r, tj. ako važi|r 1i | ≤ r (i = 1, . . . , 8),tada na osnovu (3), imamo(4)˛˛r T x 1˛˛˛ ≤„ b2ac + 3 «r .