Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

304 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAZa k = 1, f 0 = 0, f 1 = h, f 2 = 2h, ∆f 0 = h, ∆ 2 f 0 = 0, pa iz R(x) = 0 sledujeB = 2/(a + 2).Za k = 2 imamo f 0 = 0, f 1 = h 2 , f 2 = 4h 2 , ∆f 0 = h 2 , ∆ 2 f 0 = 2h 2 . IzR(x 2 ) = 0 dobijamo B + 2C = 4/(a + 3), odakle jetj.C =a + 1(a + 2) (a + 3) .Sa ovako odred¯enim koeficijentima imamoR(x 3 ) =Z 2h0„ «x a+3 dx − (2h) a+1 2 a + 1a + 2 h3 +(a + 2) (a + 3) · 6h3 ,R(x 3 a (2h) a+4) = −2(a + 2)(a + 3)(a + 4) .Dakle, ako je a ≠ 0 zaključujemo da je algebarski stepen tačnosti formule (1)jednak p = 2. Za a = 0 formula (1) se svodi na Simpsonovu formulu, što znači daje tada algebarski stepen tačnosti p = 3.Do koeficijenata A, B, C mogli smo doći i integracijom prvog Newtonovoginterpolacionog polinoma za funkciju f konstruisanog u čvorovima 0, h, 2h:Dakle,Z 2h0x a f(x)dx ∼ =P 2 (x) = f 0 + ∆f 0h x + ∆2 f 0x(x − h) .2hZ 2h0x a P 2 (x)dxj= (2h) a+1 1a + 1 f 0 + 2ffa + 2 ∆f a + 10 +(a + 2)(a + 3) ∆2 f 0 .Ako pretpostavimo da f ∈ C 3 [0, 2h], tada se ostatak interpolacione formule možeizraziti u obliku(2) r 2 (f; x) = f(x) − P 2 (x) = f ′′′ (ξ)3!x(x − h)(x − 2h) ,gde je ξ takvo da pripada (0,2h). Ostatak kvadraturne formule (1) možemo dobitiintegracijom ostatka (2), tj.(3) R(f) =Z 2h0x a r 2 (f;x) dx = 1 6Z 2h0x a+1 (x − h)(x − 2h) f ′′′ (ξ)dx,