Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

354 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAZnači, problem ispitivanja apsolutne stabilnosti višekoračnog metoda može sesvesti na ispitivanje da li je polinom P, dat pomoću„ « »P(z) = (1 − z) k 1 + zπ1 − z , ¯h = (1 − z) k ρHurwitzov.Neka je„ « 1 + z−1 − z¯hσ(2) P(z) = a 0 z k + a 1 z k−1 + · · · + a k .„ «– 1 + z,1 − zAko je a 0 > 0, polinom (2) je Hurwitzov ako i samo ako su sve veličinea 1 ,˛ a1 a 3a 0 a 2˛˛˛˛ ,pozitivne, pri čemu je a j = 0 (j > k).a 1 a 3 a 5 · · · a 2k−1a 1 a 3 a 5a 0 a 2 a 4 a 2k−2a 0 a 2 a 4 , . . . ,0 a 1 a 3 a 2k−3˛ 0 a 1 a 3˛˛˛˛˛˛ .˛0 0 0 a k˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛˛k×kImajući u vidu prethodno razmatranje, ispitajmo sada apsolutnu stabilnostmetoda (1).Polinom stabilnosti za metod (1) glasiπ `r, ¯h´ = ρ(r) − ¯hσ(r) = r 2 − 1 − ¯h (r + 3)2= r 2 − ¯h „2 r − 1 + 3 «2 ¯h ,pa je, prema tome, polinom P dat sa(4)„ «P(z) = (1 − z) 2 1 + zπ1 − z , ¯h= (1 − z) 2 " „1 + z1 − z= a 0 z 2 + a 1 z + a 2 ,« 2− ¯h2„ « „ 1 + z− 1 + 3 « #1 − z 2 ¯hgde su a 0 = −¯h, a 1 = 4 + 3 ¯h, a 2 = −2 ¯h.Pretpostavimo da je a 0 = −¯h > 0. Da bi polinom (4) bio Hurwitzov, na osnovu(3) imamo a 1 > 0 i a 1 a 2 > 0. Dakle, a 0 > 0, a 1 > 0 i a 2 > 0, a to je ispunjeno za¯h ∈ (−4/3, 0).