Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

270 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJAy ′′iS obzirom da je drugi izvod parabole (1) jednak 2A, to za približnu vrednost′′, u oznaci ȳ , možemo uzetii(2) ȳ i ′′ = 1 h 2 · 2a(a + 1) (y r − (1 + a)y i + a y e ) .Pod pretpostavkom da je funkcija y(x) dovoljan broj puta neprekidno diferencijabilna,na osnovu Taylorove formule imamoy r = y (x i + ah) = y i + ahy ′ i + a2 h 22y i ′′ + a3 h 3y i ′′′ + a4 h 46 24 y(4) i+ · · · ,y e = y (x i − h) = y i − h y i ′ + h22 y′′ i − h33 y′′′ i + h424 y(4) i− · · · ,pa zamenom u jednakost (2), dobijamoDakle,ȳ i ′′ = y i ′′ − (a − 1) h “ ”3 y′′′ + a 2 h2− a + 112 y(4) i+ · · · .ȳ ′′i =(y′′i+ O(h) , a ≠ 1,y ′′i + O(h2 ) , a = 1 .U slučaju kada je a = 1, tj. kada su interpolacioni čvorovi ekvidistantni (x i =x e + h, x r = x e +2h), tada jeȳ ′′i = 1 h 2 (y r − 2y i + y e ) ,što je često korišćena aproksimacija drugog izvoda.7.1.8. Data je funkcija tablicomx y ∆y ∆ 2 y ∆ 3 y ∆ 4 y0.50 0.3521−0.05100.75 0.3011 −0.0081−0.0591 0.00791.00 0.2420 −0.0002 −0.0016−0.0593 0.00631.25 0.1827 0.0061−0.05321.50 0.1295