Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NELINEARNE JEDNAČINE 125imamo da je f ′ (x) ≡ 1 + (x 2 − 2x − 1)e −x .Kako za koren x = a jednačine (1) važi a ∈ [−1, 0) i kako je f ′ (x) ≠ 0 zasvako x ∈ [−1, 0), to se na rešavanje jednačine može primeniti Newtonov metod.(f ′ (x) = 0 kada je x 2 − 2x − 1 = −e x , tj. kada je x = 0 i x = ξ ∈ (0, 1 + √ 2), štose vidi sa slike 2.)2y=x -2x-1-11- 211+ 2-1y=-e xSl. 2Iterativna funkcija Newtonovog metoda jeϕ(x) = x − f(x)f ′ (x) = x − x − (x2 − 1)e −x1 + (x 2 − 2x − 1)e −x .Neka je startna vrednost, na primer, x 0 = −1 ∈ [−1, 0).Dobijene iteracije su redom:x 1 = ϕ(x 0 ) = −0.84464,x 2 = ϕ(x 1 ) = −0.80296,x 3 = ϕ(x 2 ) = −0.80033, x 4 = ϕ(x 3 ) = −0.80032, . . . .Kako je |x 4 − x 3 | = 10 −5 , to je postignuta tražena tačnost i zato možemo uzetida je a ∼ = −0.8003.Primedba. Iterativni proces x k+1 = φ(x k ), k = 0,1, . . . , sa iterativnomfunkcijom φ(x) ≡ (x 2 − 1)e −x , startujući čak sa x 0 = −0.8, daje sledeći nizx 1 = −0.801, x 2 = −0.798, x 3 = −0.807, x 4 = −0.782,x 5 = −0.849, x 6 = −0.652, x 7 = −1.103, . . . ,koji očigledno divergira.