Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

336 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAodakle dobijamoa 1 = 3 , a 2 = 1 2 (a 1 + 3) = 3 , a 3 = 1 3 a 2 = 1 , a 4 = 1 4 (a 3 − 1) = 0 ,a n = 1 n a n−1 = 0 (n = 5,6, . . .).Dakle,y(x) = 1 + 3(x − 1) + 3(x − 1) 2 + (x − 1) 3 = x 3 .Naravno, dobijeno rešenje je isto kao i ono pri korišćenju Taylorovog metodas obzirom da se i po jednom i po drugom metodu traži rešenje u istom obliku.Jedina razlika je u metodologiji dobijanja koeficijenata uz odgovarajuće stepeneod x − x 0 (x 0 = 1).8.1.4. Primeniti Picardov metod u rešavanju diferencijalne jednačiney ′ = −xy (2 + y), y(0) = 1i izvršiti ocenu greške dobijenog približnog rešenja.Rešenje. Picardov metod sukcesivnih aproksimacija, za rešavanje Cauchyevogproblema(1) y ′ = f(x, y) , y(x 0 ) = y 0 ,sastoji se u generisanju niza funkcijan oy [s] (x) pomoću iterativnog procesas∈N 0Z x “ ”(2) y [s+1] (x) = y 0 + f t, y [s] (t) dt (s = 0, 1, . . .).x 0Najčešće se uzima y [0] (x) = y 0 .Neka su na pravougaoniku D =uslovi:1 ◦ f je neprekidna funkcija i |f(x, y)| ≤ M;no(x, y) : |x − x 0 | ≤ α, |y − y 0 | ≤ β ispunjeni2 ◦ f zadovoljava „ Lipshitzov « uslov po y sa konstantom L;3 ◦ βh ≤ min α, .MTada u I = [x 0 −h, x 0 +h] postoji jedinstveno rešenje Cauchyevog problema (1) iiterativni proces (2) konvergira ka tom rešenju, tj. važi lims→∞ y[s] (x) = y(x) (x ∈ I)(videti teoremu 1.1.2 [3, str. 7]).