Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

III G L A V AOpšta teorija iterativnih procesa3.1. Primena Banachovog stava3.1.1. Korišćenjem Banachovog stava o nepokretoj tački, diskutovatiegzistenciju rešenja sistema od k linearnih jednačina(1)a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1k x k = b 1 ,a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2k x k = b 2 ,a k1 x 1 + a k2 x 2 + · · · + a kk x k = b k .Rešenje. Dati sistem možemo napisati u oblikux 1 = (1 − a 11 ) x 1x 2 =.x k =−a 12 x 2 − · · ·−a 21 x 1 +(1 − a 22 ) x 2 − · · ·−a k1 x 1−a k2 x 2 − · · · +(1 − a kk )x k + b k ,.−a 1k x k + b 1 ,−a 2k x k + b 2 ,ili ako uvedemo veličinej 1 i = j ,c ij = δ ij − a ij , gde je δ ij =0 i ≠ j ,u obliku(2) x i =kXc ij x j + b i (i = 1,2, . . . , k) .j=1Označimo sa R k p (1 ≤ p < +∞) Banachov prostor gde je:8 9< kX =‖x‖ p = |x: j | p ;j=11/p