Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

246 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAPrema tome, za rešenje sistema (3) možemo uzeti(7) ā ∼ = 6.9539279 i ¯b ∼ = 0.4514932 ,što se bitno razlikuje od rešenja (4). Rešenja (7) možemo dobiti i na sledeći način:eliminacijom parametra a iz sistema (3)(8) a =3Pf k exp(b x k )k=0,3Pexp(2bx k )k=0dobijamo nelinearnu jednačinu za odred¯ivanje parametra b u obliku“ 3X ”“ 3XG(q) = x k f k q x kk=0gde smo stavili q = exp(b).k=0”q 2x k−“ 3X ”“ 3Xx k q 2x kk=0k=0”f k q x k= 0 ,Kako je G(1.5) ∼ = 102.88 i G(1.6) = −59.2 zaključujemo da jednačina G(q) = 0u intervalu (1.5, 1.6) ima koren. Metodom sečice, sa startnim vrednostima q 0 = 1.5i q 1 = 1.6, dobijamo rezultate koji su dati u sledećoj tabeli:k q k G(q k ) b k2 1.563473105 12.9 ( 0) 0.4469096963 1.570000681 1.2 ( 0) 0.4510760534 1.570671244 −2.8 (−2) 0.4515030725 1.570655766 6.0 (−5) 0.4514932176 1.570655798 0.451493238U koloni sa vrednostima G(q k ) broj u zagradi ukazuje na decimalni eksponent. Uskladu sa (8) nalazimo a ∼ = 6.95392787.Vratimo se opet na razmatranje funkcije F definisane pomoću (2). Kao što smopokazali, uvod¯enjem smena Y = log y i X = x, aproksimaciona funkcija se svodina linearnu, ali su greške u dobijenim parametrima značajne. Ove greške mogubiti znatno smanjene uvod¯enjem težinskih koeficijenata na pogodan način prilikomrešavanja odgovarajućeg linearnog problema. Pokazaćemo sadatajpristupnaistomprimeru. Neka su Y k =log f k , tj. f k =e Y k, a=e a 0i b = a 1 . Tada se (2) svodi naF(a,b) = H(a 0 , a 1 ) =3Xk=0“e Y k− e a 0+a 1 X k” 2.