Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

ff ′′f ′ 2 = 1 − „ ff ′ « ′= 1 −= f ′′f ′ e + f ′′′f ′ − 3 2NELINEARNE JEDNAČINE 121"1 − e f ′′f ′ + 3 − 1 3!f ′′ 2f ′ 2e 2 + O(e 3 ).Ako sa φ označimo iterativnu funkciju, imamof ′′′f ′ + 1 2φ(x) − a = x − a − f „ « −1/2f ′ 1 − ff′′= e − f +∞ Xf ′ 2 f ′ k=0"= e − f f ′ 1 + 1 ff ′′2 f ′ 2 + 3 „ ff′′« 2#+ · · ·8 f ′ 2= e −×= e −"×"e − 1 2"1 + 1 2"+ 3 8e − 1 21 + 1 2f ′′f ′ e2 + − 1 f ′′′3 f ′ + 1 2f ′′f ′ e + f ′′′f ′ − 3 2f ′′f ′ e + f ′′′f ′ − 3 2f ′′ 2f ′ 2f ′′ 2f ′ 2f ′′f ′ e2 + − 1 f ′′′3 f ′ + 1 2f ′′f ′ e + 1 2f ′′′f ′ − 3 4f ′′ 2f ′ 2!!f ′′ 2f ′ 2f ′′ 2f ′ 2!f ′′ 2f ′ 2!e 2 + O(e 3 )! „−1/2− ff′′k f ′ 2e 3 + O(e 4 )e 2 + O(e 3 )!#32e 2 + O(e )! 3 + · · · 5!!e 3 + O(e 4 )e 2 + O(e 3 )= −4f ′ f ′′′ + 3f ′′ 2e 3 + O(e 4 ).24f ′ 2Dakle, red konvergencije datog procesa je r = 3, a faktor konvergencije (asimptotskakonstanta greške) je−4f ′ (a)f ′′′ (a) + 3f ′′ 2 (a)C 3 =˛ 24f ′2 (a) ˛ .5.1.16. Za rešavanje jednačine f(x) = 0, koja na segmentu [c,d] imaizolovan prost koren x = a, koristi se iterativni proces⎡⎤x k+1 = x k − 1 4⎢⎣ u(x k) +3f(x k )f(x ′ k − 2 ) ⎥3 u(x ⎦ , k = 0,1,... ,k)###« k