Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

INTERPOLACIJA FUNKCIJA 1696.1.13. Korišćenjem Lagrangeove interpolacije dokazati:)( nk)a)b)( m1nm − n = ∑(−1) n−k nm − k , m > n;k=0nmm − n = ∑)(−1) n−k k m n, m > n.m − k(n)(kk=0Rešenje. a) Lagrangeov interpolacioni polinom za funkciju f(x) = 1, u čvorovimax i = i (i = 0,1, . . . , n), je dat saP L n (x) = ω(x)nXi=0f(x i )ω ′ (x i )(x − x i )= x(x − 1) · · · (x − n)=x(x − 1) · · · (x − n)n!nXi=01ω ′ (i)(x − i)(−1)nXn−ii=0gde smo koristili ω(x) = (x − 0)(x − 1) · · · (x − n) ix − iω ′ (i) = i(i − 1) · · · 2 · 1 · (−1) · · · (i − n) = (−1) n−i i!(n − i)! .Za x = m (m > n) i imajući u vidu da je 1 = Pn L (x), dobijamo!nitj.1 =1m − n = m!n!(m − n)!m(m − 1) · · · (m − n)n!(−1)nXn−ii=0m − i!ni(−1) nXn−ii=0= m nm − ini!!X n(−1) n−ii=0,,m − i!ni.b) Postupak je sličan kao u slučaju pod a), samo ovde biramo f(x) = x.6.1.14. Dokazati da je(x 0 − x) k p 0 (x) + (x 1 − x) k p 1 (x) + · · · + (x n − x)p n (x) = 0