Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

338 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINAOcena greške po formuli (3) u mnogim slučajevima može biti komplikovana.Jedan praktičan kriterijum za prekidanje iterativnog procesa (2) je˛˛y [s] (x) − y [s−1] (x) ˛ ≤ ε (x ∈ I) ,gde je ε unapred zadata tačnost.8.1.5. Primeniti Picardov metod na problemy ′′ = 2(xy ′ + y) , y(0) = 1, y ′ (0) = 0i na osnovu četiri sukcesivne aproksimacije odrediti tačno rešenje zadatogproblema.Rešenje. Cauchyev problem za diferencijalne jednačine višeg reda“(1) y (m) = f x, y, y ′ , . . . , y (m−1)” , y (i) (x 0 ) = y i0 (i = 0, 1, . . . , m − 1),može se svesti na sistem diferencijalnih jednačina prvog reda. Naime supstitucijamaz 1 = y , z 2 = y ′ , . . . , z m = y (m−1) ,problem (1) se svodi na sistemz ′ 1 = z 2 ,z ′ 2 = z 3 ,.z ′ m−1 = z m ,z ′ m = f(x; z 1 , z 2 , . . . , z m ) ,sa uslovimaz i (x 0 ) = z i0 = y i−1,0što možemo predstaviti u vektorskom obliku(i = 1, . . . , m),(2) y ′ = f (x,y) , y(x 0 ) = y 0 ,gde su2 3 2 323z 1y 00z 2z 2...y = 6 74 5 , y y 100 = 6 . 74. 5 , f (x,y) = z 3...6745 .z m y m−1,0 f(x; z 1 , z 2 , . . . , z m )