Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

90 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ ALGEBRItj. posle sred¯ivanja,(8) Q(z) = (z − 1) n Pgde su„ « z + 1= a 0 z n + a 1 z n−1 + · · · + a n ,z − 1a ν = f ν (p 0 , . . . , p n ) (ν = 0, 1,2, . . . , n) .Dakle, ako je polinom P(λ) imao nule unutar jediničnog kruga u λ–kompleksnojravni, tada polinom Q(z) ima nule sa realnim delom manjim od nule, tj. polinomQ(z) je Hurwitzov. (Napomenimo da Hurwitzovi polinomi imaju veliki značaj utehnici.)Ako je a 0 > 0, polinom (8) je Hurwitzov ako i samo ako su sve veličine(9) a 1 ,˛ a1 a 3a 0 a 2˛˛˛˛ ,pozitivne, pri čemu je a j = 0 (j > n).a 1 a 3 · · · a 2n−1a 1 a 3 a 5a 0 a 2 a 2n−2a 0 a 2 a 4 , . . . ,˛ 0 a 1 a 3˛˛˛˛˛˛ .˛0 0 a n˛˛˛˛˛˛˛˛˛n×nVratimo se sada ispitivanju konvergencije procesa (2), tj. (3). Na osnovu (4) jeP(λ) = λ P 1 (λ) ,gde je P 1 (λ) = 300 λ 3 −20 λ+2 , odakle zaključujemo da će proces (3) konvergiratiako su nule polinoma P 1 (λ) unutar jediničnog kruga.Korišćenjem transformacije (7), imamo„ «Q(z) = (z − 1) 3 z + 1P 1 = a 0 z 3 + a 1 z 2 + a 2 z + a 3 ,z − 1gde su a 0 = 282, a 1 = 914, a 2 = 926, a 3 = 278.Kako je a 0 = 282 > 0, na osnovu (9), zaključujemo da je polinom Q(z) Hurwitzovjer sua 1 = 914 > 0 , a 1 a 2 − a 3 a 0 = 767968 > 0 , a 3 = 278 > 0 .S obzirom da je polinom Q(z) Hurwitzov, tj. da su mu sve nule sa realnim delommanjim od nule, to dalje znači da polinom P 1 (λ) ima nule sa modulom manjim odjedinice. Dakle, proces (2), tj. (3), je konvergentan.Literatura:G.V. Milovanović, R.Ž. D¯ ord¯ević: Matematika za studente tehničkih fakulteta,I deo. Čuperak plavi, Niš, 1996.