Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 245Naravno, ove vrednosti ne minimiziraju funkciju F(a,b), tj. nisu rešenja sistemajednačina (2). Med¯utim, ova rešenja se mogu iskoristiti kao početna rešenja zajedan iterativni proces koji bi trebalo konstruisati tako da konvergira ka rešenjusistema (3). Na primer, to može biti metod Newton-Kantoroviča.Sa ā i ¯b označimo tačno rešenje sistema (3). Tada, korišćenjem vrednosti (4),kao približne vrednosti, možemo pisati(5) ā = a + ∆a , ¯b = b + ∆b ,gde su ∆a i ∆b korekcije koje treba odrediti. Jedan iterativni proces može sekonstruisati linearizacijom aproksimacione funkcije i primenom metode najmanjihkvadrata na rešavanje tako dobijenog sistema linearnih jednačina.Stavimo y = f(x; a,b) = a e bx . Kako je ∂f∂a = ebx i ∂f∂b = a xebx , na osnovu(6) f(x; ā,¯b) ∼ = f(x; a, b) + ∂f ∂f∆a +∂a ∂b ∆b ,uzimajući x = x k i f(x k ; ā,¯b) ∼ = f k , dobijamo preodred¯eni sistem jednačinae bx k∆a + a x k e bx k∆b = f k − a e bx k(k = 0, 1,2, 3),koji u matričnom obliku izgledaMδ = e,gde su M = ˆm ij˜4×2 , δ = ˆ∆a ∆b ˜⊤ , e =ˆe1 e 2 e 3 e 4˜⊤ im i1 = exp(bx i−1 ) , m i2 = ax i−1 m i1 , e i = f i−1 − am i1 .Iz normalnog sistema jednačina M ⊤ Mδ = M ⊤ e odred¯ujemo vektor δ, tj. korekcije∆a i ∆b. S obzirom na linearizaciju (6), ove korekcije neće biti takve dapomoću (5) dobijemo tačna rešenja, već ćemo dobiti izvesna približna rešenja,označimo ih sa a ′ i b ′ , koja će biti tačnija u odnosu na (4). Ovaj postupak se možeponoviti više puta, tačnije rečeno sve dok se ne dobiju rešenja sa zadovoljavajućomtačnošću. U posmatranom primeru dobijamo rezultate koji su sred¯eni u sledećojtabeli:a b ∆a ∆b4.48 0.448 2.4740850 0.00543366.9540850 0.4534335 −0.0003339 −0.00192476.9537511 0.4515088 0.0001756 −0.00001556.9539267 0.4514933 0.0000012 −0.00000016.9539279 0.4514932