Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

NUMERIČKO DIFERENCIRANJE 273Sada jey 0 ′ = F 1 (h) + Bh 4 + O(h 6 ),“y 0 ′ h”= F 1 + B h42 16 + O(h6 ).Odred¯ivanjem konstante B iz poslednjeg sistema dolazimo do formuletj.y ′ 0 = 1 45“ h”16F 1 − F 1 (h)y 0 ′ = 2 + O(h 6 ),15„ “ h” “ h” «64F − 20F + F(h) + O(h 6 ).4 27.1.10. Oceniti grešku u formuli za drugi izvodf ′′ (x i ) ∼ = 1 h 2 (f i+1 − 2f i + f i−1 )uzimajući u obzir i greške zaokrugljivanja, a zatim naći optimalnu vrednostza korak h minimizacijom granice apsolutne greške.Rešenje. Sa ¯f i označimo numeričku vrednost dobijenu zaokruglivanjem tačnevrednosti f i = f(x i ) na m značajnih cifara u mantisi. Tada za odgovarajućugrešku zaokruglivanja e i = ¯f i − f i važi ocena (videti [1, str. 10])(1) |e i | ≤ E = 1 2 · 10−m+k ,gde je k karakteristika broja f i . Ovde je uzeta osnova b = 10.Kako jeD 2 f(x i ) = 1 „δ 2h 2 − 1 12 δ4 + 1 «90 δ6 − · · · f(x i )= 1 h 2 δ2 f(x i ) − 112h 2 h4 f (4) (ξ i ) ,gde su x i−1 < ξ i < x i+1 i δ 2 f i = δ 2 ¯fi − δ 2 e i , imamof ′′ (x i ) = 1 h 2 ` ¯fi+1 − 2 ¯f i + ¯f i−1´− Ri ,gde jeR i = 1 h 2 δ2 e i + 1 12 h2 f (4) (ξ i ).