Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

More documents

Recommendations

Info

odakles obzirom da je8>:NUMERIČKO DIFERENCIRANJE 2611 ω ′ (x)(x − x k ) − ω(x)ω ′ (x k ) (x − x k ) 2 , za x ≠ x k ,ω ′′ (x k )2ω ′ (x k ) , za x = x k ,1 ω ′ (x)(x − xlimk ) − ω(x) 1 ω ′′ (x)(x − xx→x k ω ′ (x k ) (x − x k ) 2 = limk ) + ω ′ (x) − ω ′ (x)x→x k ω ′ (x k ) 2(x − x k )Sada je, na osnovu (2), važi(4) f ′ (ξ) ∼ =a na osnovu (3)nXk=0= ω′′ (x k )2ω ′ (x k ) .ω ′ (ξ)(ξ − x k ) − ω(ξ)ω ′ (x k )(ξ − x k ) 2 f(x k ) (ξ ≠ x i , i = 0,1, . . . , n),(5) f ′ (x i ) ∼ =nX ω ′ (x i )ω ′ (x k )(x i − x k ) f(x k) + ω′′ (x i )2ω ′ (x i ) f(x i)k=0k≠i(i = 0, 1, . . . , n).Primetimo da za svako f ∈ P n važi da je f = P n , pa su dakle formule (5)i (6) tačne za za svako f ∈ P n i mogu poslužiti za nalaženje izvoda funkcijex ↦→ f(x) ako su poznate vrednosti funkcije f u tačkama x i (i = 0,1, . . . , n) inaravno pod pretpostavkom da je funkcija f diferencijabilna. S obzirom na ovečinjenice, pored¯enjem (1) i (6) zaključujemo da je(6) a ik =ω ′ (x i )ω ′ (x k )(x i − x k )(k ≠ i),(7) a ii = ω′′ (x i )2ω ′ (x i )za i, k = 0, 1, . . . , n.Lako je uočiti da se koeficijentima iz (6) i (7) može dati i ovakva formaa ik =1x i − x kn Yj=0j≠kx i − x jx k − x j(k ≠ i), a ii =nXj=0j≠i1x i − x j.
262 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUMERIČKA INEGRACIJA7.1.3. Na osnovu skupa podatakax 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6f(x) 1.5095 1.6984 1.9043 2.1293 2.3756približno izračunati f ′ (1.4) i f ′′ (1.4). Dobijene rezultate uporediti sa tačnimvrednostima f ′ (1.4) = cosh(1.4) ∼ = 2.1509 i f ′′ (1.4) = sinh(1.4) ∼ = 1.9043.Rešenje. Aproksimirajmo funkciju x ↦→ f(x) interpolacionim polinomom x ↦→P 4 (x). S obzirom da je f(x) ∼ P 4 (x), imamo f (k) (x) ∼ P (k)4(x) (k = 1,2, . . . ).Kako su interpolacioni čvorovi x k = x 0 + kh (k = 0, 1,2,3, 4) ekvidistantni(x 0 = 1.2, h = 0.1), možemo konstruisati na primer, prvi Newtonov interpolacionipolinom:tj.P 4 (x) = f 0 + p∆f 0 ++p(p − 1)2!∆ 2 f 0 +p(p − 1)(p − 2)(p − 3)4!p(p − 1)(p − 2)3!∆ 4 f 0 ,∆ 3 f 0(1)P 4 (x) = f 0 + p∆f 0 + p2 − p2∆ 2 f 0 + p3 − 3p 2 + 2p6∆ 3 f 0+ p4 − 6p 3 + 11p 2 − 6p24∆ 4 f 0 ,gde je p = (x − x 0 )/h. S obzirom da jeP ′ 4(x) = dP 4dpdiferenciranjem jednakosti (1), dobijamo(2)P ′ 4(x) = 1 ha dalje, diferenciranjem (2), imamodpdx = 1 dP 4h dp ,„∆f 0 + 2p − 1 ∆ 2 f 0 + 3p2 − 6p + 2∆ 3 f 026+ 2p3 − 9p 2 − 11p − 312∆ 4 f 0«,(3) P 4 ′′ (x) = 1 „«h 2 ∆ 2 f 0 + (p − 1) ∆ 3 6p − 18p + 11f 0 + ∆ 4 f 0 .12
Page 1 and 2:
Gradimir V. MilovanovićMilan A. Ko
Page 3 and 4:
viPREDGOVORProblemi iz interpolacij
Page 5 and 6:
viiiSADRŽAJVIG L A V AInterpolacij
Page 7 and 8:
2 UVODprimer, ETNA - Electronic Tra
Page 9 and 10:
4 UVOD[1] G.V. Milovanović: Numeri
Page 11 and 12:
6 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEM
Page 13 and 14:
8 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEM
Page 15 and 16:
10 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATE
Page 17 and 18:
Page 19 and 20:
Page 21 and 22:
Page 23 and 24:
Page 25 and 26:
Page 27 and 28:
Page 29 and 30:
Page 31 and 32:
Page 33 and 34:
Page 35 and 36:
Page 37 and 38:
Page 39 and 40:
Page 41 and 42:
Page 43 and 44:
Page 45 and 46:
Page 47 and 48:
Page 49 and 50:
Page 51 and 52:
Page 53 and 54:
Page 55 and 56:
50 OPŠTA TEORIJA ITERATIVNIH PROCE
Page 57 and 58:
Page 59 and 60:
Page 61 and 62:
Page 63 and 64:
Page 65 and 66:
Page 67 and 68:
Page 69 and 70:
Page 71 and 72:
66 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ AL
Page 73 and 74:
Page 75 and 76:
Page 77 and 78:
Page 79 and 80:
Page 81 and 82:
Page 83 and 84:
Page 85 and 86:
Page 87 and 88:
Page 89 and 90:
Page 91 and 92:
Page 93 and 94:
Page 95 and 96:
Page 97 and 98:
Page 99 and 100:
Page 101 and 102:
Page 103 and 104:
Page 105 and 106:
100 NUMERIČKI METODI U LINEARNOJ A
Page 107 and 108:
102 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMI
Page 109 and 110:
Page 111 and 112:
Page 113 and 114:
Page 115 and 116:
Page 117 and 118:
Page 119 and 120:
Page 121 and 122:
Page 123 and 124:
Page 125 and 126:
Page 127 and 128:
Page 129 and 130:
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
Page 147 and 148:
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Page 157 and 158:
152 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAza
Page 159 and 160:
154 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA6.
Page 161 and 162:
156 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJALa
Page 163 and 164:
158 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJARe
Page 165 and 166:
160 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAva
Page 167 and 168:
162 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAS
Page 169 and 170:
164 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAk
Page 171 and 172:
166 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA(v
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
Page 179 and 180:
Page 181 and 182:
176 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAk
Page 183 and 184:
178 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA(1
Page 185 and 186:
180 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgd
Page 187 and 188:
182 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgd
Page 189 and 190:
184 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAn
Page 191 and 192:
Page 193 and 194:
188 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAZa
Page 195 and 196:
190 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJANa
Page 197 and 198:
192 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAk
Page 199 and 200:
194 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAPr
Page 201 and 202:
196 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAtj
Page 203 and 204:
198 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAPr
Page 205 and 206:
200 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJATo
Page 207 and 208:
202 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAi
Page 209 and 210:
204 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJApo
Page 211 and 212:
206 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAdo
Page 213 and 214:
208 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAk
Page 215 and 216: 210 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAa
Page 217 and 218: 212 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAod
Page 221 and 222: 216 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJARe
Page 223 and 224: 218 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA(v
Page 225 and 226: 220 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJADa
Page 229 and 230: 224 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAi
Page 231 and 232: 226 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAgd
Page 233 and 234: 228 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJADa
Page 235 and 236: 230 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAk
Page 237 and 238: 232 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAAp
Page 241 and 242: 236 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAOv
Page 243 and 244: 238 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJApo
Page 245 and 246: 240 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAFo
Page 247 and 248: 242 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAdo
Page 249 and 250: 244 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAKo
Page 251 and 252: 246 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAPr
Page 253 and 254: 248 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAza
Page 257 and 258: 252 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJANi
Page 261 and 262: 256 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAim
Page 263 and 264: 258 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJASa
Page 265: 260 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUM
Page 269 and 270: 264 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUM
Page 317 and 318:
312 NUMERIČKO DIFERENCIRANJE I NUM
Page 319 and 320:
Page 321 and 322:
Page 323 and 324:
Page 325 and 326:
Page 327 and 328:
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Page 333 and 334:
Page 335 and 336:
Page 337 and 338:
Page 339 and 340:
334 PRIBLIŽNO REŠAVANJE OBIČNIH
Page 341 and 342:
Page 343 and 344:
Page 345 and 346:
Page 347 and 348:
Page 349 and 350:
Page 351 and 352:
Page 353 and 354:
Page 355 and 356:
Page 357 and 358:
Page 359 and 360:
Page 361 and 362:
Page 363 and 364:
Page 365 and 366:
Page 367 and 368:
Page 369 and 370:
Page 371 and 372:
Page 373:
show all

Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?