Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

gde je F = f x + ff y ,. Tada imamoMETODI RUNGE-KUTTA 365(2)Φ(x n , y n , h) = A(a)f + B(a)(f + aFh) + O(h 2 )= (A(a) + B(a))f + aB(a)Fh + O(h 2 ).S druge strane, slično kao u prethodnom zadatku, dobijamoΦ T (x n , y n , h) = y(x n + h) − y(x n )hNa osnovu (2) i (3) imamo= f + 1 2 Fh + O(h2 ).Φ T (x n , y n , h) − Φ(x n , y n , h) = (1 − A(a) − B(a))f + (1/2 − aB(a))Fh + O(h 2 ),odakle zaključujemo da treba nametnuti uslove(4) 1 − A(a) − B(a) = 0,12 − aB(a) = 0da bi metod (1) bio drugog reda. Rešavanjem sistema jednačina (4) dobijamoA(a) = 2a − 12a , B(a) = 12a .Iz uslova A(a) = B(a) sleduje a = 1, tj. A(a) = B(a) = 1/2, pa u tom slučajumetod (1) postaje(5) y n+1 = y n + 1 2 h(k 1 + k 2 ),gde suk 1 ≡ k 1 (x n , y n ) = f(x n , y n ), k 2 ≡ k 2 (x n , y n ) = f(x n + h, y n + hk 1 ).Za Cauchyev problem dat zadatkom y ′ = 2xy − 2x 2 + 1, y(0) = 1 imamo daje f(x, y) = 2xy − 2x 2 + 1. Uzimajući h = 0.1, na osnovu (5) dobijamo rezultate(zaokružene na četiri decimale), prikazane u tabeli.n x n k 1 (x n , y n ) k 2 (x n , y n ) y n y(x n )0 0.0 1.0000 1.2000 1.0000 1.00001 0.1 1.2020 1.4121 1.1100 1.11012 0.2 1.4163 1.6494 1.2407 1.24083 0.3 1.6564 1.9277 1.3940 1.39424 0.4 1.9386 2.2669 1.5731 1.57355 0.5 1.7835 1.7840