Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

166 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJA(videti [1, str. 347–348]). Za takav metod je, dakle, na osnovu (5),e n+1 ∼ K e n e n−1 L e n e n−1 ∼ M e 2 n e 2 n−1 .Ako stavimo da je e n+1 ∼ N e r n, poznatim postupkom dobijamo r = 2+ 2 r , odakleje r = 1 + √ 3, tj.Indeks efikasnosti ovog procesa jee n+1 ∼ N e 2.732n .+ EFF = (2.732)1/2 ∼ = 1.653 ,s obzirom da zahteva vrednosti y n i y ∗ n po iterativnom koraku.Literatura:L.G. Chambers: A quadratic formula for finding the root of an equation. Math.Comp. 25(114) (1971), 305–307.M.G. Cox: A note on Chambers’ method for finding a zero of a function. Math.Comp. 26(119) (1972), 749–750.J.A. Blackburn, Y. Beaudoin: A note on Chambers’ method. Math. Comp.28(126) (1974), 573–574.6.1.11. Neka su x 1 ,x 2 , ... ,x n realni brojevi različiti od 0 i −1, imed¯usobno različiti. Ako je ω(x) = (x − x 1 ) · · · (x − x n ), dokazatin∑k=1x n k ω (1/x k)ω ′ (x k )(1 + x k ) = (−1)n−1 (1 − x 1 x 2 · · · x n ).Rešenje. Korišćenjem Lagrangeove interpolacije u tačkama x 1 , . . . , x n , polinomx ↦→ p(x), stepena ne većeg od n − 1, se može predstaviti u obliku(1) p(x) =nXk=1Lako se može pokazati da je takav i polinomω(x)(x − x k )ω ′ (x k ) p(x k) .„ «p(x) = x n 1ω + (−1) n−1 x 1 x 2 · · · x n ω(x).x