Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

Prema tome, T je kontrakcija ako jePRIMENA BANACHOVOG STAVA 51(3)kXi,j=1c 2 ij < 1i tada sistem (2), tj. (1), ima, na osnovu Banachovog stava, jedno i samo jednorešenje. Ono se moze dobiti, polazeći od proizvoljne tačkex 0 =(0) `x1 , . . . , x(0) k´,kao granična vrednost niza koji se generiše pomoćutj.x (n+1)i=x n+1 = T x n (n = 0,1, . . . ),kXj=1c ij x (n)j+ b i (i = 1,2, . . . , k) .Uslov, koji matrica [c ij ] treba da zadovolji da bi operator T bio kontrakcija,zavisi od izabranog Banachovog prostora. Sam problem koji razmatramo ni počemu ne sugeriše baš prostor R 2 k . Ako naš problem tretiramo u prostorima Rk 1 iR k ∞ dobićemo druge uslove za matricu [c ij ].Na primer, u prostoru R k 1 biće‖T x 1 − T x 2 ‖ 1 = ‖y 1 − y 2 ‖ 1 =≤kXi=1 j=1≤ max1≤j≤k≤ max1≤j≤kkX˛˛y (1)i− y (2)i ˛ =i=1kX˛|c ij | ˛x (1)j− x (2)j ˛ =kXkX˛i=1˛x (1)j=1j=1kX˛j− x (2)j ˛( kX)kX˛|c ij | · ˛x (1)j− x (2)j ˛i=1 j=1( kX)|c ij | · ‖x 1 − x 2 ‖ 1 ,i=1pa se uslov da T bude kontrakcija svodi nac ij`x(1) j− x (2)jkX|c ij |i=1´˛(4)kX|c ij | < 1 za j = 1, 2, . . . , k .i=1