Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

168 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJAzadovoljava uslovmax |f(x i)| ≥ n!0≤i≤n 2 n .Rešenje. Neka jeω(x) = (x − x 0 ) · · · (x − x n ).Polinom f(x) je n-tog stepena pa se može zapisati u obliku Lagrangeovog polinoman-tog stepenanX ω(x)f(x) ≡(x − x k )ω ′ (x k ) f(x k).k=0Upored¯ujući koeficijente leve i desne strane uz x n dobijamo1 =nXk=0f(x k )ω ′ (x k ) .Neka jeTada jeS druge straneM = max0≤i≤n |f(x i)|.1 ≤ MnXk=01|ω ′ (x k )| .|ω ′ (x k )| = |x k − x 0 ||x k − x 1 | · · · |x k − x k−1 ||x k − x k+1 | · · · |x k − x n |≥ k!(n − k)!,pa jeNajzad, imamo1 ≤ MnXk=01k! (n − k)! .M ≥11nX n!n! k!(n − k)!k=0=11nXn!k=0! = n!n 2 n ,ktj.max0≤i≤n |f(x i)| ≥ n!2 n .