Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

PROBLEM NAJBOLJIH APROKSIMACIJA 2516.2.26. Na segmentu [c,d] naći mini-max aproksimaciju funkcije f uskupu polinoma stepena ne višeg od prvog. Funkcija f je dva puta neprekidno-diferencijabilnana segmentu [c,d] i f ′′ (x) > 0 (ili < 0) za svako x ∈ [c,d].Rešenje. Aproksimacionu funkciju Φ(x) = a 0 + a 1 x treba odrediti iz uslovada maksimlno odstupanje funkcije greškeδ(x) = f(x) − Φ(x) = f(x) − a 0 − a 1 xod nule, na segmentu [c, d], bude minimalno, tj. tražimo„mina 0 ,a 1«max |f(x) − a 0 − a 1 x|c≤x≤d= maxc≤x≤d |f(x) − ā 0 − ā 1 x| = ‖δ ∗ (x)‖ ∞ .Sl. 1.Prvi način: U ovom slučaju, s obzirom da je f ′′ (x) > 0 (ili f ′′ (x) < 0) za svakox ∈ [c, d], funkcija f je konveksna (konkavna), te možemo za rešavanje postavljenogproblema iskoristiti sledeći prost geometrijski postupak. Kroz krajnje tačke krivey = f(x) (c ≤ x ≤ d) postavimo sečicu, a zatim tangentu krive koja je paralelnasa ovom sečicom (videti Sl. 1).Odgovarajuće jednačine ovih pravih su, redomy s =f(d) − f(c)d − c(x − c) + f(c) ,y t =f(d) − f(c)d − c(x − x 2 ) + f(x 2 ),gde je tačka x 2 koren jednačine(1) f ′ (x 2 ) =f(d) − f(c)d − c.