Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

110 NELINEARNE JEDNAČINE I SISTEMIdok su, na osnovu Taylorove formule,f ′ (x) = f ′ (a) + f ′′ (a)(x − a) + f ′′′ (ξ)2f(x) = f(a) + f ′ (a)(x − a) + f ′′ (a)2(x − a) 2 ,(x − a) 2 + f ′′′ (η)6(x − a) 3 ,gde su ξ i η izmed¯u x i a. S obzirom da je, prema uslovu zadatka, f(a) = f ′′ (a) = 0,stavljajući e = x − a dobijamo8>< f ′ (x) = f ′ (a) + f ′′′ (ξ)e 2 ,(2)2>: f(x) = f ′ (a)e + f ′′′ (η)e 3 .6Ako f(x) i f ′ (x) u brojiocu jednakosti (1) zamenimo razvojima iz (2), dobijamoϕ(x) − a =ili, posle deobe sa e 3 = (x − a) 3 ,„ f ′′′ (ξ)2f ′ (x) − f ′′′ «(η)6f ′ e 3(x)(3)ϕ(x) − a(x − a) 3 = f ′′′ (ξ)2f ′ (x) − f ′′′ (η)6f ′ (x) .Ako, sada, pustimo da x → a, tada, s obzirom da su ξ i η izmed¯u x i a, sledujeda i ξ → a, η → a, pa na osnovu (3), dobijamoϕ(x) − alimx→a (x − a) 3 = 1 f ′′′ (a)3 f ′ (a) ,odakle zaključujemo da je Newtonov metod, u slučaju kada je f ′′ (a) = 0, trećegreda sa asimptotskom konstantom greške C 3 = 1 f ′′′ (a)3 ˛ f ′ ˛(a) ˛.Inače, poznato je da, u opštem slučaju, kod odred¯ivanje prostog kogena nelinearnejednačine, Newtonov metod ima kvadratnu konvergenciju (videti [1, str.340]).5.1.9. Za odred¯ivanje prostog korena x = a (a ≠ 0) jednačine f(x) = 0,dat je iterativni proces)f(x k )(1) x k+1 = x k(1 −x k f ′ (k = 0,1,... ),(x k ) + p f(x k )