Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

156 INTERPOLACIJA I APROKSIMACIJALagrangeov interpolacioni polinom (2), za ovaj skup podataka, glasi(5)(x − 0.2)(x − 0.5) (x − 0.2)(x − 0.5)P 2 (x) = 1 + 1.221403(0 − 0.2)(0 − 0.5) (0.2 − 0)(0.2 − 0.5)(x − 0)(x − 0.2)+ 1.648721(0.5 − 0)(0.5 − 0.2)= 0.634757 x 2 + 0.980064 x + 1pri čemu su svi rezultati zaokruženi na šest decimala.U cilju konstruisanja Newtonovog interpolacionog polinoma (3), najpre formiramo,na osnovu prethodne tabele, tablicu podeljenih razlika(6)k [x k ; f] [x k , x k+1 ; f] [x k , x k+1 , x k+2 ; f]0 1.0000001.1070151 1.221403 0.6347561.4243932 1.648721odakle je, na osnovu (3),(7)P 2 (x) = 1 + 1.107015 (x − 0) + 0.634756 (x − 0)(x − 0.2)= 0.634756 x 2 + 0.980064 x + 1 ,pri čemu su svi rezultati zaokrugljeni na šest decimala.Kao što je rečeno, teorijski, interpolacioni polinom je jedinstven. Prema tome,Lagrangeov interpolacioni polinom (5) i Newtonov (7) bi trebalo da budu identičkijednaki. Med¯utim, upored¯ivanjem (5) i (7) uočavamo da se koeficijenti uz x 2 razlikujuza 10 −6 . To je posledica grešaka zaokrugljivalja koje se neminovno javljajuu procesu izračunavanja na računskim mašinama. Zbog toga se, zavisno od svrhe,često daje prednost interpolacionom polinomu dobijenom na jedan način u odnosuna interpolacioni polinom dobijen na neki drugi način.Primetimo da konstrukcija Newtonovog interpolacionog polinoma zahteva prethodnoformiranje tablice podeljenih razlika, što nije bio slučaj kod Lagrangeoveinterpolacije.S obzirom da je f (k) (x) = (e x ) (k) = e x (k = 1,2, . . .), na osnovu (4) imamo|f(x) − P 2 (x)| ≤ M | x (x − 0.2) (x − 0.5) | (0 ≤ x ≤ 0.5) ,3!