Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

LINEARNI VIŠEKORAČNI METODI 351se pokazati da su r i neprekidne funkcije od ¯h. Dakle, r i = r i (¯h) → ξ i (i = 1, . . . , k)kada ¯h → 0.Diskriminanta kvadratne jednačine π `r, ¯h´ = 0 ima vrednost∆ = B 2 − 4AC = ¯h 2 `7 − 2a + 7a2´ +12¯h`1 − a 2´ + (1 − a) 2 .Dalje, s obzirom da je diskriminanta za kvadratnu jednačinu po ¯h, ∆ = 0, data sa∆¯h = − 4 3 (1 − a)4 < 0 i 7 −2a +7a 2 > 0 (−1 ≤ a < 1), zaključujemo da je ∆ > 0,pa su obe nule polinoma stabilnosti realne i različite.Ako je p red linearnog višekoračnog metoda, poznato je da važi asimptotskajednakostr 1 = e¯h + O`¯hp+1´(¯h → 0),tj.r 1 = 1 + ¯h + O`¯h2´(¯h → 0) .Kako r 2 → ξ 2 = a (¯h → 0), to je r 2 = a + γ ¯h + O`¯h2´, pa iz uslova π `r 2 , ¯h´ = 0nalazimo γ = (a − 1) 2 /12.Dakle, za dovoljno malo ¯h, imamo(1) r 1 = 1 + ¯h + O`¯h2´ , r 2 = a +(a − 1)212¯h + O`¯h2´.Linearni k-koračni metod ima interval apsolutne stabilnosti (α, β), ako za ¯h ∈(α, β) važi ˛˛r i`¯h´˛˛ < 1 (i = 1, . . . , k). Na osnovu (1), iz uslova |r i (h)| < 1 (i = 1, 2)sleduje ¯h < 0, tj. (α, β) = (α,0).Dakle, znamo da su r i (¯h) (i = 1, 2) realne, različite i neprekidne funkcije od¯h. Na osnovu (1) zaključujemo da, za male, negativne vrednosti ¯h, je r 1 (¯h) neštomanje od jedan, a r 2 (¯h) nešto manje od a (−1 ≤ a < 1), ali veće od −1 za−1 < a < 1. Postavlja se pitanje: za koje vrednosti ¯h će r 1 (¯h) ili r 2 (¯h) dadostignu vrednost 1 ili −1, tj. da izad¯u iz opsega (−1,1)?S obzirom da je za r = 1a za r = −1π `1, ¯h´ = (a − 1) ¯h = 0 =⇒ ¯h = 0 ,π `−1, ¯h´ = ¯h3 (1 − a) + 2(1 + a) = 0 =⇒ ¯h = 6 a + 1a − 1 < 0 ,„zaključujemo da je interval apsolutne stabilnosti 6 a + 1 «a − 1 , 0 . Primetimo da sedati metod za a = −1 svodi na Simpsonovo pravilo koje spada u grupu optimalnihmetoda, a na osnovu dobijenog rezultata ono nema interval apsolutne stabilnosti.