Numerical Mathematics - A Collection of Solved Problems

22 OSNOVNI ELEMENTI NUMERIČKE MATEMATIKEOvaj broj, koji smo nazvali faktor uslovljenosti ili kondicioni broj, pokazuje namkoliko puta je veća relativna promena y u odnosu na relativnu promenu x. Što jeovaj broj veći kažemo da je problem (1) slabije uslovljen. Obrnuto, što je on manjito je problem (1) bolje uslovljen.U slučaju kada je x = 0, a y ≠ 0, faktor uslovljenosti definišemo sa |f ′ (x)/f(x)|.Slično, za y = 0, x ≠ 0, faktor uslovljenosti je |xf ′ (x)|. Ako je x = y = 0,korišćenjem (2), faktor uslovljenosti bi bio |f ′ (x)|.Analizirajmo sada slučaj kada su m i n proizvoljni. Tada imamox = [x 1 x 2 · · · x m ] ⊤ ∈ R m ,y = [y 1 y 2 · · · y n ] ⊤ ∈ R nPreslikavanje f predstavljamo preko koordinata (komponenti)(5) y ν = f ν (x 1 , x 2 , . . . , x m ), ν = 1, 2, . . . , n.Ovde pretpostavljamo da svaka funkcija f ν ima parcijalne izvode u odnosu na mpromenljivih u tački x. Ako imamo promenu u komponenti x µ u funkciji (5), a naosnovu (4), promena se može okarakterisati vrednostima koje definišemo sa(6) γ νµ (x) := (condf)(x) :=˛x µ∂f ν∂x µf ν (x)˛ .Ovim dobijamo kompletnu matricu faktora uslovljenosti Γ(x) = [γ νµ (x)] ∈ R n×m+ .Da bismo dobili jedinstven faktor uslovljenosti, možemo uzeti neku pogodnu meru“odstupanja” matrice Γ(x) kakva je, na primer, norma matrice definisana kasnijeu (9),(7) (condf)(x) = ‖Γ(x)‖, Γ(x) = [γ νµ (x)] .Uslovljenost definisana na ovaj način, naravno, zavisi od norme, ali red odstupanjamogao bi biti manje-više isti za bilo koju razumnu normu.Ako su komponente od x ili od y jednake nuli, (6) se modifikuje na isti načinkako je to prethodno urad¯eno za jednodimenzionalni slučaj.Nešto grublja analiza, slična onoj za jednodimenzionalni slučaj, može se izvestidefinisanjem relativne promene x ∈ R m pomoću‖∆x‖ R m‖x‖ R m, ∆x = [∆x 1 ∆x 2 · · · ∆x m ] ⊤ ,gde je ∆x promena vektora, čije komponente ∆x µ su promene komponenti x µ , igde je ‖ · ‖ R m neka norma vektora u R m . Za promenu ∆y prouzrokovanu sa ∆x,